南京师范大学 2020年高等代数第1题
📝 题目
1．（20分，每小题 10 分）求如下行列式：
（1）$\displaystyle \left\
\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & 2 & 5 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right\$ ；（2）$\displaystyle \left\
\begin{array}{cccc}x_{1}-m & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ x_{1} & x_{2}-m & \cdots & x_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n}-m\end{array}\right\$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：第(1)题：行变换化为上三角
将第1行的-2倍加到第2行，-1倍加到第3行，-4倍加到第4行，得到
\[
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & -1 & -5 \\
0 & 1 & 1 & 4 \\
0 & -1 & -2 & -3
\end{vmatrix}
\]
提示：注意行变换时，倍数是负的，且只对当前行操作，其他行不变。
步骤 2/7
目标：第(1)题：继续行变换
将第2行加到第3行，第2行加到第4行，得到
\[
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & -1 & -5 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & -1 & 2
\end{vmatrix}
\]
提示：注意第3行和第4行交换前，先观察是否有零行或可简化。
步骤 3/7
目标：第(1)题：交换行并计算
交换第3行和第4行，行列式变号，得到
\[
-\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & -1 & -5 \\
0 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{vmatrix}
\]
上三角行列式等于对角线元素乘积：
\[
- (1 \times (-1) \times (-1) \times (-1)) = - (1 \times (-1) \times 1) = -(-1) = 1
\]
公式：上三角行列式等于对角线元素乘积
提示：交换行时行列式变号，注意符号变化。
步骤 4/7
目标：第(2)题：列和加到第一列
将第2列到第n列都加到第1列，得到
\[
\begin{vmatrix}
x_1 + x_2 + \cdots + x_n - m & x_2 & \cdots & x_n \\
x_1 + x_2 + \cdots + x_n - m & x_2 - m & \cdots & x_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_1 + x_2 + \cdots + x_n - m & x_2 & \cdots & x_n - m
\end{vmatrix}
\]
公式：行列式性质：将一列的倍数加到另一列，值不变
提示：注意是列变换，且所有列都加到第一列，不是行。
步骤 5/7
目标：第(2)题：提取公因子
令 $S = \sum_{i=1}^n x_i$，则第1列公因子为 $S - m$，提出得
\[
(S - m) \begin{vmatrix}
1 & x_2 & \cdots & x_n \\
1 & x_2 - m & \cdots & x_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_2 & \cdots & x_n - m
\end{vmatrix}
\]
公式：行列式性质：某列公因子可提出
提示：注意公因子是 $S-m$，不要漏掉负号。
步骤 6/7
目标：第(2)题：行变换化为下三角
将第1行的-1倍加到其余各行，得到
\[
(S - m) \begin{vmatrix}
1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\
0 & -m & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & -m & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & -m
\end{vmatrix}
\]
提示：行变换后，第2行到第n行只有对角线元素非零，注意第1行不变。
步骤 7/7
目标：第(2)题：计算行列式值
下三角行列式等于对角线元素乘积：
\[
(S - m) \cdot 1 \cdot (-m)^{n-1} = (S - m)(-m)^{n-1}
\]
其中 $S = \sum_{i=1}^n x_i$。
公式：下三角行列式等于对角线元素乘积
提示：注意 $(-m)^{n-1}$ 的指数是 $n-1$，因为只有 $n-1$ 个 $-m$。
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