南京师范大学 2020年高等代数第6题
📝 题目
6．（20分）设矩阵 $\displaystyle A, D$ 分别为 $n$ 阶和 $m$ 阶可逆矩阵，$\displaystyle B, C$ 分别为 $\displaystyle n \times m$ 和 $\displaystyle \mathbf{m} \times \mathbf{n}$ 矩阵．
证明：（1）$\displaystyle \left\
\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right\
=\
A\
\cdot\left\
D-C A^{-1} B\right\$ ；
（2）秩 $\displaystyle \left(A-B D^{-1} C\right)-$ 秩 $\displaystyle \left(D-C A^{-1} B\right)=n-m$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造分块矩阵并左乘初等矩阵
设分块矩阵 $M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$，其中 $A$ 和 $D$ 可逆。构造初等分块矩阵 $\begin{pmatrix} I_n & 0 \\ -CA^{-1} & I_m \end{pmatrix}$，左乘 $M$ 得到：
$$
\begin{pmatrix} I_n & 0 \\ -CA^{-1} & I_m \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D - CA^{-1}B \end{pmatrix}.
$$
公式：分块矩阵乘法
提示：注意左乘初等矩阵时，要确保乘法顺序正确，且 $A^{-1}$ 存在。
步骤 2/6
目标：取行列式证明公式(1)
对等式两边取行列式。左边第一个矩阵的行列式为 $\det(I_n)\det(I_m)=1$，所以
$$
\det(M) = \det\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D - CA^{-1}B \end{pmatrix}.
$$
由于该矩阵是分块上三角矩阵，其行列式等于对角块行列式的乘积：
$$
\det\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D - CA^{-1}B \end{pmatrix} = \det(A) \det(D - CA^{-1}B).
$$
因此
$$
\begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix} = |A| \cdot |D - CA^{-1}B|.
$$
公式：分块三角矩阵的行列式公式
提示：注意分块上三角矩阵的行列式等于对角块行列式的乘积，前提是子块乘法有意义。
步骤 3/6
目标：对M进行另一种初等变换得到秩的关系(1)
考虑另一种左乘初等矩阵：
$$
\begin{pmatrix} I_n & -BD^{-1} \\ 0 & I_m \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} A - BD^{-1}C & 0 \\ C & D \end{pmatrix}.
$$
由于左边第一个矩阵可逆，秩不变，所以
$$
\operatorname{rank}(M) = \operatorname{rank}\begin{pmatrix} A - BD^{-1}C & 0 \\ C & D \end{pmatrix}.
$$
公式：初等变换不改变秩
提示：注意左乘可逆矩阵不改变秩，但右乘也不改变。
步骤 4/6
目标：消去左下角子块得到对角形式
对矩阵 $\begin{pmatrix} A - BD^{-1}C & 0 \\ C & D \end{pmatrix}$ 左乘 $\begin{pmatrix} I_n & 0 \\ -CD^{-1} & I_m \end{pmatrix}$：
$$
\begin{pmatrix} I_n & 0 \\ -CD^{-1} & I_m \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} A - BD^{-1}C & 0 \\ C & D \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} A - BD^{-1}C & 0 \\ 0 & D \end{pmatrix}.
$$
左边矩阵可逆，所以
$$
\operatorname{rank}(M) = \operatorname{rank}\begin{pmatrix} A - BD^{-1}C & 0 \\ 0 & D \end{pmatrix} = \operatorname{rank}(A - BD^{-1}C) + \operatorname{rank}(D).
$$
由于 $D$ 可逆，$\operatorname{rank}(D)=m$，故
$$
\operatorname{rank}(M) = \operatorname{rank}(A - BD^{-1}C) + m. \tag{1}
$$
公式：分块对角矩阵的秩等于各块秩之和
提示：注意分块对角矩阵的秩等于各对角块秩之和，前提是子块独立。
步骤 5/6
目标：从另一种变换得到秩的关系(2)
由第一步的变换，我们有
$$
\operatorname{rank}(M) = \operatorname{rank}\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D - CA^{-1}B \end{pmatrix}.
$$
对该矩阵右乘 $\begin{pmatrix} I_n & -A^{-1}B \\ 0 & I_m \end{pmatrix}$：
$$
\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D - CA^{-1}B \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} I_n & -A^{-1}B \\ 0 & I_m \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & D - CA^{-1}B \end{pmatrix}.
$$
右边矩阵可逆，所以
$$
\operatorname{rank}(M) = \operatorname{rank}\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & D - CA^{-1}B \end{pmatrix} = \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(D - CA^{-1}B).
$$
由于 $A$ 可逆，$\operatorname{rank}(A)=n$，故
$$
\operatorname{rank}(M) = n + \operatorname{rank}(D - CA^{-1}B). \tag{2}
$$
公式：初等变换不改变秩
提示：注意右乘可逆矩阵也不改变秩。
步骤 6/6
目标：联立两个秩等式得到结论
由 (1) 和 (2) 得：
$$
\operatorname{rank}(A - BD^{-1}C) + m = n + \operatorname{rank}(D - CA^{-1}B),
$$
移项即得
$$
\operatorname{rank}(A - BD^{-1}C) - \operatorname{rank}(D - CA^{-1}B) = n - m.
$$
提示：注意等式两边秩的加减运算，不要混淆符号。
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