南京师范大学 2020年高等代数第7题
📝 题目
7．（15 分）已知 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle M_{n}=\left(\frac{1-a_{i}^{n} a_{j}^{n}}{1-a_{i} a_{j}}\right)$ ，证明：当 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ 互不相同时， $\displaystyle M_{n}$ 为正定矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用恒等式化简矩阵元素
注意到当 $x \neq 1$ 时，有恒等式 $\frac{1-x^n}{1-x} = 1+x+\cdots+x^{n-1}$。令 $x = a_i a_j$，则 $\frac{1 - a_i^n a_j^n}{1 - a_i a_j} = \sum_{k=0}^{n-1} (a_i a_j)^k = \sum_{k=0}^{n-1} a_i^k a_j^k$。因此矩阵 $M_n$ 可表示为 $M_n = \sum_{k=0}^{n-1} \mathbf{v}_k \mathbf{v}_k^T$，其中 $\mathbf{v}_k = (a_1^k, a_2^k, \ldots, a_n^k)^T$。
公式：\frac{1-x^n}{1-x} = \sum_{k=0}^{n-1} x^k
提示：注意恒等式成立的条件是 $x \neq 1$，但若 $a_i a_j = 1$，则原矩阵元素为 $n$（通过极限或直接计算），而求和公式也给出 $n$，故仍成立。
步骤 2/5
目标：证明矩阵半正定
对任意非零列向量 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T \in \mathbb{R}^n$，计算二次型：$\mathbf{x}^T M_n \mathbf{x} = \mathbf{x}^T \left( \sum_{k=0}^{n-1} \mathbf{v}_k \mathbf{v}_k^T \right) \mathbf{x} = \sum_{k=0}^{n-1} (\mathbf{x}^T \mathbf{v}_k)^2 = \sum_{k=0}^{n-1} \left( \sum_{i=1}^n x_i a_i^k \right)^2 \geq 0$。因此 $M_n$ 是半正定矩阵。
公式：\mathbf{x}^T M_n \mathbf{x} = \sum_{k=0}^{n-1} \left( \sum_{i=1}^n x_i a_i^k \right)^2
提示：注意平方和是非负的，但需要进一步证明严格大于0。
步骤 3/5
目标：假设二次型为零，导出齐次线性方程组
假设存在非零向量 $\mathbf{x}$ 使得 $\mathbf{x}^T M_n \mathbf{x} = 0$，则对所有 $k=0,1,\ldots,n-1$，有 $\sum_{i=1}^n x_i a_i^k = 0$。这给出了 $n$ 个方程：$\sum_{i=1}^n x_i a_i^k = 0$，$k=0,1,\ldots,n-1$。
公式：\sum_{i=1}^n x_i a_i^k = 0, \quad k=0,1,\ldots,n-1
提示：注意 $k$ 从0开始，包括常数项。
步骤 4/5
目标：利用Vandermonde矩阵的可逆性推出矛盾
将上述方程组写成矩阵形式：$V^T \mathbf{x} = 0$，其中 $V$ 是 Vandermonde 矩阵 $V = (a_i^{j-1})_{n \times n}$，即 $V_{ij} = a_i^{j-1}$。由于 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 互不相同，Vandermonde 矩阵可逆，因此 $V^T$ 也可逆，从而方程组只有零解，即 $\mathbf{x} = 0$，与假设矛盾。故对任意非零 $\mathbf{x}$，有 $\mathbf{x}^T M_n \mathbf{x} > 0$。
公式：V = \begin{pmatrix} 1 & a_1 & \cdots & a_1^{n-1} \\ 1 & a_2 & \cdots & a_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & a_n & \cdots & a_n^{n-1} \end{pmatrix}
提示：Vandermonde矩阵的行列式 $\prod_{1 \leq i < j \leq n} (a_j - a_i) \neq 0$，故可逆。
步骤 5/5
目标：总结正定性
由以上推导，$M_n$ 是半正定且对任意非零向量二次型为正，因此 $M_n$ 是正定矩阵。
提示：正定矩阵要求对称且所有特征值大于0，这里已证明二次型恒正。
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