南京师范大学 2020年高等代数第8题
📝 题目
8．（20 分）设 A 为实线性空间 $\displaystyle \mathrm{R}^{3}$ 上的线性变换， E 为恒等变换， A 的特征多项式为 $\displaystyle \lambda^{3}-1$ ，令 $\displaystyle V_{1}=\{\alpha \mid(\mathrm{A}-\mathrm{E}) \alpha=0\}, V_{2}=\left\{\alpha \mid\left(\mathrm{A}^{2}+\mathrm{A}+\mathrm{E}\right) \alpha=0\right\}$ 。
证明：（1）$\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 都是 A 的不变子空间；（2） $\displaystyle \mathbf{R}^{3}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明V1是A的不变子空间
任取 $\alpha \in V_1$，则 $(A-E)\alpha=0$，即 $A\alpha = \alpha$。于是 $A(A\alpha)=A\alpha = \alpha$，即 $(A-E)(A\alpha)=0$，所以 $A\alpha \in V_1$。因此 $V_1$ 是 $A$ 的不变子空间。
公式：$(A-E)\alpha=0 \Rightarrow A\alpha=\alpha$
提示：注意验证 $A\alpha$ 满足 $V_1$ 的定义条件。
步骤 2/7
目标：证明V2是A的不变子空间
任取 $\alpha \in V_2$，则 $(A^2+A+E)\alpha=0$。考虑 $A\alpha$：$$(A^2+A+E)(A\alpha) = A(A^2+A+E)\alpha = A\cdot 0 = 0,$$ 所以 $A\alpha \in V_2$。因此 $V_2$ 也是 $A$ 的不变子空间。
公式：$(A^2+A+E)(A\alpha)=A(A^2+A+E)\alpha$
提示：利用多项式与线性变换的可交换性。
步骤 3/7
目标：分析特征多项式与最小多项式
特征多项式 $f(\lambda)=\lambda^3-1$ 在实数域上的根为 $\lambda=1$（实根）和一对共轭复根 $\omega = e^{2\pi i/3}, \bar{\omega}$。由于 $\lambda^3-1=(\lambda-1)(\lambda^2+\lambda+1)$，且 $\lambda^2+\lambda+1$ 在实数域上不可约，最小多项式只能是 $\lambda^3-1$（否则与特征多项式次数或根矛盾）。
公式：$\lambda^3-1=(\lambda-1)(\lambda^2+\lambda+1)$
提示：注意实数域上不可约二次因子的存在。
步骤 4/7
目标：证明V1 ∩ V2 = {0}
设 $\alpha \in V_1 \cap V_2$，则 $(A-E)\alpha=0$ 且 $(A^2+A+E)\alpha=0$。由 $A\alpha=\alpha$ 代入第二式得 $(\alpha+\alpha+\alpha)=3\alpha=0$，所以 $\alpha=0$。
公式：$3\alpha=0 \Rightarrow \alpha=0$
提示：注意实数域上3可逆，故只有零解。
步骤 5/7
目标：构造多项式恒等式
由于 $\lambda-1$ 与 $\lambda^2+\lambda+1$ 互素，存在多项式 $p(\lambda), q(\lambda)$ 使得 $p(\lambda)(\lambda-1)+q(\lambda)(\lambda^2+\lambda+1)=1$。通过欧几里得算法：$\lambda^2+\lambda+1 = (\lambda+2)(\lambda-1) + 3$，所以 $3 = (\lambda^2+\lambda+1) - (\lambda+2)(\lambda-1)$，即 $$\frac{1}{3}(\lambda^2+\lambda+1) - \frac{1}{3}(\lambda+2)(\lambda-1)=1.$$ 令 $p(\lambda) = -\frac{1}{3}(\lambda+2)$，$q(\lambda)=\frac{1}{3}$。
公式：$\frac{1}{3}(\lambda^2+\lambda+1) - \frac{1}{3}(\lambda+2)(\lambda-1)=1$
提示：注意多项式恒等式的系数计算。
步骤 6/7
目标：将任意向量分解为V1和V2中向量之和
对任意 $\alpha \in \mathbf{R}^3$，由多项式恒等式得 $$\alpha = p(A)(A-E)\alpha + q(A)(A^2+A+E)\alpha.$$ 令 $\alpha_1 = q(A)(A^2+A+E)\alpha = \frac{1}{3}(A^2+A+E)\alpha$，则 $(A-E)\alpha_1 = \frac{1}{3}(A-E)(A^2+A+E)\alpha = \frac{1}{3}(A^3-E)\alpha = 0$，故 $\alpha_1 \in V_1$。令 $\alpha_2 = p(A)(A-E)\alpha = -\frac{1}{3}(A+2E)(A-E)\alpha$，则 $(A^2+A+E)\alpha_2 = -\frac{1}{3}(A^2+A+E)(A+2E)(A-E)\alpha = -\frac{1}{3}(A+2E)(A^3-E)\alpha = 0$，故 $\alpha_2 \in V_2$。因此 $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2 \in V_1 + V_2$。
公式：$\alpha = \frac{1}{3}(A^2+A+E)\alpha - \frac{1}{3}(A+2E)(A-E)\alpha$
提示：注意验证 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 分别属于 $V_1$ 和 $V_2$，利用 $A^3-E=0$。
步骤 7/7
目标：总结直和分解
由 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$ 和 $\mathbf{R}^3 = V_1 + V_2$，得 $\mathbf{R}^3 = V_1 \oplus V_2$。
提示：直和需要同时满足交为零和和为全空间。
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