南京师范大学 2020年高等代数第9题
📝 题目
9．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵．证明：存在正交矩阵 $U$ 使得 $\displaystyle U^{-1} A U$和 $\displaystyle U^{-1} B U$ 同时为对角矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle A B=B A$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：必要性：由同时对角化推出可交换
设存在正交矩阵 $U$ 使得 $U^{-1}AU = \Lambda$ 和 $U^{-1}BU = M$ 均为对角矩阵，其中 $\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$，$M = \mathrm{diag}(\mu_1,\dots,\mu_n)$。由于 $U$ 正交，$U^{-1}=U^T$，则 $A = U\Lambda U^T$，$B = U M U^T$。计算 $AB = (U\Lambda U^T)(U M U^T) = U\Lambda M U^T$，$BA = (U M U^T)(U\Lambda U^T) = U M\Lambda U^T$。因为对角矩阵乘法可交换，$\Lambda M = M\Lambda$，所以 $AB = BA$。
公式：$AB = U\Lambda M U^T = U M\Lambda U^T = BA$
提示：注意正交矩阵满足 $U^{-1}=U^T$，且对角矩阵乘法可交换。
步骤 2/5
目标：充分性：利用A的特征子空间分解
设 $A,B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵且 $AB=BA$。由于 $A$ 实对称，存在正交矩阵 $U_1$ 使得 $U_1^T A U_1 = \mathrm{diag}(\lambda_1 I_{n_1}, \dots, \lambda_k I_{n_k})$，其中 $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ 是 $A$ 的互异特征值，$n_i$ 为 $\lambda_i$ 的重数，$\sum n_i = n$。
公式：$U_1^T A U_1 = \mathrm{diag}(\lambda_1 I_{n_1}, \dots, \lambda_k I_{n_k})$
提示：实对称矩阵可正交对角化，且特征子空间相互正交。
步骤 3/5
目标：充分性：B在A的特征子空间上不变
由 $AB=BA$ 知 $B$ 与 $A$ 可交换，因此 $B$ 保持 $A$ 的每个特征子空间不变。于是 $U_1^T B U_1$ 为分块对角矩阵，与 $U_1^T A U_1$ 分块一致，即 $U_1^T B U_1 = \mathrm{diag}(B_1, B_2, \dots, B_k)$，其中 $B_i$ 是 $n_i$ 阶实对称矩阵。
公式：$U_1^T B U_1 = \mathrm{diag}(B_1, B_2, \dots, B_k)$
提示：可交换性保证B在A的特征子空间上不变，从而分块对角。
步骤 4/5
目标：充分性：分别对角化每个B_i
对每个 $i=1,\dots,k$，$B_i$ 是实对称矩阵，故存在正交矩阵 $V_i$ 使得 $V_i^T B_i V_i$ 为对角矩阵。令 $U_2 = \mathrm{diag}(V_1, V_2, \dots, V_k)$，则 $U_2$ 是正交矩阵。
公式：$U_2 = \mathrm{diag}(V_1, V_2, \dots, V_k)$
提示：注意 $U_2$ 是分块对角正交矩阵，每个块 $V_i$ 是正交矩阵。
步骤 5/5
目标：充分性：构造同时对角化矩阵U
令 $U = U_1 U_2$，则 $U$ 是正交矩阵。计算 $U^T A U = U_2^T (U_1^T A U_1) U_2 = \mathrm{diag}(V_1^T \lambda_1 I_{n_1} V_1, \dots, V_k^T \lambda_k I_{n_k} V_k) = \mathrm{diag}(\lambda_1 I_{n_1}, \dots, \lambda_k I_{n_k})$，仍为对角矩阵。计算 $U^T B U = U_2^T (U_1^T B U_1) U_2 = \mathrm{diag}(V_1^T B_1 V_1, \dots, V_k^T B_k V_k)$，为对角矩阵。因此存在正交矩阵 $U$ 使得 $U^{-1}AU$ 和 $U^{-1}BU$ 同时为对角矩阵。
公式：$U^T A U = \mathrm{diag}(\lambda_1 I_{n_1}, \dots, \lambda_k I_{n_k})$, $U^T B U = \mathrm{diag}(V_1^T B_1 V_1, \dots, V_k^T B_k V_k)$
提示：注意 $U_2$ 与 $U_1^T A U_1$ 可交换，因为 $U_1^T A U_1$ 是标量矩阵的分块对角。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。