南京师范大学 2021年高等代数第4题
📝 题目
4．（每小题 10 分，共 20 分）线性方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
& a_{11} x_{1}+ a_{12} x_{2}+\cdots+ \\
& a_{21} x_{1}+ a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\
& a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-1,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0
\end{aligned}\right.
$$
的系数矩阵为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 。设 $\displaystyle \mathbf{M}_{\mathbf{i}}$ 是矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 中划去第 $\displaystyle \mathbf{i}$ 列剩下的 $\displaystyle (\mathbf{n}-\mathbf{1}) \times(\mathbf{n}-\mathbf{1})$ 矩阵的行列式。证明：
（1）$\displaystyle \left(M_{1},-M_{2}, \cdots,(-1)^{n-1} M_{n}\right)$ 是方程组的一个解；
（2）如果 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的秩为 $\displaystyle \mathbf{n}-\mathbf{1}$ ，那么方程组的解全是 $\displaystyle \left(\mathbf{M}_{\mathbf{1}},-\mathbf{M}_{\mathbf{2}}, \cdots,(-\mathbf{1})^{\mathbf{n}-\mathbf{1}} \mathbf{M}_{\mathbf{n}}\right)$ 的倍数．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意与符号设定
题目给出一个含有 $n$ 个未知数、$n-1$ 个方程的齐次线性方程组，系数矩阵 $\mathbf{A}$ 是 $(n-1)\times n$ 矩阵。定义 $M_i$ 为从 $\mathbf{A}$ 中划去第 $i$ 列后得到的 $(n-1)\times(n-1)$ 子矩阵的行列式。需要证明向量 $(M_1, -M_2, \dots, (-1)^{n-1}M_n)$ 是方程组的一个解，并且在 $\operatorname{rank}(\mathbf{A})=n-1$ 时，所有解都是该向量的倍数。
提示：注意 $M_i$ 的定义：划去第 $i$ 列，而不是第 $i$ 行。
步骤 2/6
目标：构造辅助方阵并利用行列式性质
对于系数矩阵 $\mathbf{A}$ 的第 $k$ 行（$1\leq k\leq n-1$），考虑构造一个 $n\times n$ 矩阵 $\mathbf{B}$：将 $\mathbf{A}$ 的第 $k$ 行复制一份作为最后一行，其余行按原顺序排列。即 $\mathbf{B}$ 的前 $n-1$ 行是 $\mathbf{A}$ 的所有行（第 $k$ 行出现两次），最后一行与第 $k$ 行相同。由于 $\mathbf{B}$ 有两行完全相同，其行列式为零：$\det(\mathbf{B})=0$。
公式：$\mathbf{B} = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & \cdots & a_{kn} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n-1,1} & \cdots & a_{n-1,n} \\ a_{k1} & \cdots & a_{kn} \end{pmatrix}$，$\det(\mathbf{B})=0$。
提示：确保理解为什么 $\mathbf{B}$ 有两行相同：第 $k$ 行和最后一行相同。
步骤 3/6
目标：按最后一行展开行列式
将 $\det(\mathbf{B})$ 按最后一行（即第 $n$ 行）展开。最后一行元素为 $a_{kj}$，对应的代数余子式为 $(-1)^{n+j} \det(\mathbf{B}_{n,j})$，其中 $\mathbf{B}_{n,j}$ 是划去第 $n$ 行和第 $j$ 列后得到的 $(n-1)\times(n-1)$ 子矩阵。注意，划去第 $n$ 行后，剩下的矩阵恰好是 $\mathbf{A}$ 划去第 $j$ 列得到的矩阵，因此 $\det(\mathbf{B}_{n,j}) = M_j$。于是展开式为：$0 = \det(\mathbf{B}) = \sum_{j=1}^n a_{kj} (-1)^{n+j} M_j$。
公式：$\det(\mathbf{B}) = \sum_{j=1}^n a_{kj} (-1)^{n+j} M_j = 0$
提示：注意代数余子式的符号：$(-1)^{n+j}$，不要漏掉负号。
步骤 4/6
目标：化简得到内积为零
由 $\sum_{j=1}^n a_{kj} (-1)^{n+j} M_j = 0$，提取公因子 $(-1)^n$ 得 $(-1)^n \sum_{j=1}^n a_{kj} (-1)^j M_j = 0$。两边除以 $(-1)^n$（非零）得 $\sum_{j=1}^n a_{kj} (-1)^j M_j = 0$。将 $(-1)^j$ 改写为 $-(-1)^{j-1}$，即 $\sum_{j=1}^n a_{kj} (-1)^{j-1} M_j = 0$。这正是方程组第 $k$ 个方程与向量 $(M_1, -M_2, \dots, (-1)^{n-1}M_n)$ 的内积。由于 $k$ 任意，该向量满足所有方程，故为解。
公式：$\sum_{j=1}^n a_{kj} (-1)^{j-1} M_j = 0$
提示：注意符号变换：$(-1)^j = -(-1)^{j-1}$，因此 $\sum a_{kj}(-1)^j M_j = 0$ 等价于 $\sum a_{kj}(-1)^{j-1} M_j = 0$。
步骤 5/6
目标：证明解向量非零（当秩为n-1时）
若 $\operatorname{rank}(\mathbf{A}) = n-1$，则 $\mathbf{A}$ 的 $n-1$ 行线性无关，且 $\mathbf{A}$ 至少有一个 $n-1$ 阶子式非零。由于 $M_i$ 正是这些子式，因此至少存在一个 $i$ 使得 $M_i \neq 0$，从而向量 $(M_1, -M_2, \dots, (-1)^{n-1}M_n)$ 不是零向量。
提示：秩为 $n-1$ 意味着存在非零的 $n-1$ 阶子式，即至少有一个 $M_i \neq 0$。
步骤 6/6
目标：利用解空间维数得出结论
齐次线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的解空间维数为 $n - \operatorname{rank}(\mathbf{A})$。当 $\operatorname{rank}(\mathbf{A}) = n-1$ 时，解空间维数为 $1$，即基础解系只含一个非零解向量。由 (1) 知该向量是一个非零解，因此它构成基础解系。从而任何解都可以表示为该向量的倍数。
公式：$\dim(\ker(\mathbf{A})) = n - \operatorname{rank}(\mathbf{A})$
提示：注意：解空间维数等于未知数个数减去系数矩阵的秩。
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