南京师范大学 2021年高等代数第5题
📝 题目
5．（10 分）设 $\displaystyle \mathbf{M}=\left(\begin{array}{ll}\mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{B}^{\prime} & \mathbf{D}\end{array}\right)$ 是 $\displaystyle \mathbf{n}$ 级正定矩阵，其中 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 $\displaystyle \mathbf{r}$ 级矩阵 $\displaystyle (\mathbf{r}<\mathbf{n})$ ．证明： $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{D}, \mathbf{D}-\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{A}^{-\mathbf{1}} \mathbf{B}$ 都是正定矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明A正定
由于M正定，对任意非零向量x∈R^r，构造向量v=(x;0)∈R^n，则v'Mv=x'Ax>0，故A正定。
公式：v'Mv = x'Ax > 0
提示：注意v的构造必须使得非零部分对应A的位置。
步骤 2/7
目标：证明D正定
类似地，对任意非零向量y∈R^{n-r}，取v=(0;y)，则v'Mv=y'Dy>0，故D正定。
公式：v'Mv = y'Dy > 0
提示：注意D的阶数为n-r。
步骤 3/7
目标：引入Schur补
由于A正定，可逆。考虑M的Schur补：S = D - B'A^{-1}B。我们将通过合同变换证明S正定。
公式：S = D - B'A^{-1}B
提示：Schur补是处理分块矩阵正定性的重要工具。
步骤 4/7
目标：构造合同变换矩阵
构造矩阵P = [I_r, -A^{-1}B; 0, I_{n-r}]，则P'MP = [A, 0; 0, S]。
公式：P = \begin{pmatrix} I_r & -A^{-1}B \\ 0 & I_{n-r} \end{pmatrix}
提示：注意P是下三角分块矩阵，其逆容易求得。
步骤 5/7
目标：计算合同变换结果
计算P'MP：
P'MP = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ -B'A^{-1} & I_{n-r} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B \\ B' & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_r & -A^{-1}B \\ 0 & I_{n-r} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & D - B'A^{-1}B \end{pmatrix}。
公式：P'MP = \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & S \end{pmatrix}
提示：计算时注意矩阵乘法的顺序，尤其要验证右上角块为零。
步骤 6/7
目标：利用正定性传递
由于M正定，合同变换不改变正定性，故P'MP正定。因此其对角块A和S都正定。
提示：合同变换保持正定性：若M正定，则对任意可逆矩阵C，C'MC正定。
步骤 7/7
目标：总结结论
综上，A、D、S = D - B'A^{-1}B均为正定矩阵。
提示：注意D的正定性已单独证明，但也可由Schur补正定结合A正定推出。
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