南京师范大学 2024年高等代数第1题
📝 题目
1．设 $\displaystyle f(x)$ 是一个整系数多项式，$\displaystyle \frac{p}{q}$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的有理根且 $\displaystyle (p, q)=1$ ，证明：存在任意整数 $m$ ，使得 $\displaystyle p m-q \mid f(m)$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设多项式并利用有理根条件
设 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ 为整系数多项式，且 $\frac{p}{q}$ 是 $f(x)$ 的有理根，$(p,q)=1$。则 $f\left(\frac{p}{q}\right)=0$，即 $a_n \left(\frac{p}{q}\right)^n + \cdots + a_0 = 0$。两边乘以 $q^n$ 得 $a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1} q + \cdots + a_0 q^n = 0$。
公式：f\left(\frac{p}{q}\right)=0 \Rightarrow a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1} q + \cdots + a_0 q^n = 0
提示：注意 $p,q$ 互质，且 $q>0$ 通常假设。
步骤 2/5
目标：构造差商表达式
考虑 $f(m) - f\left(\frac{p}{q}\right)$，利用恒等式 $m^k - \left(\frac{p}{q}\right)^k = \left(m - \frac{p}{q}\right) \sum_{j=0}^{k-1} m^{k-1-j} \left(\frac{p}{q}\right)^j$，得到：
$$f(m) = \left(m - \frac{p}{q}\right) \sum_{k=0}^n a_k \sum_{j=0}^{k-1} m^{k-1-j} \left(\frac{p}{q}\right)^j$$
公式：m^k - (p/q)^k = (m - p/q) \sum_{j=0}^{k-1} m^{k-1-j} (p/q)^j
提示：注意 $k=0$ 时项为 $a_0$，但 $m^0 - (p/q)^0 = 0$，所以求和从 $k=1$ 开始，但为统一可认为 $k=0$ 时内和为0。
步骤 3/5
目标：乘以 $q^n$ 化为整数表达式
将上式两边乘以 $q^n$：
$$q^n f(m) = (qm-p) \sum_{k=0}^n a_k \sum_{j=0}^{k-1} m^{k-1-j} p^j q^{n-1-j}$$
由于 $a_k, m, p, q$ 均为整数，且 $n-1-j \geq 0$（因为 $j \leq k-1 \leq n-1$），所以求和项为整数。因此 $qm-p$ 整除 $q^n f(m)$。
公式：q^n f(m) = (qm-p) \cdot \text{整数}
提示：注意 $n-1-j$ 非负，确保指数为整数。
步骤 4/5
目标：利用互质性质推出整除关系
由于 $(p,q)=1$，有 $\gcd(q, qm-p) = \gcd(q, p)=1$，即 $q$ 与 $qm-p$ 互质。因为 $qm-p \mid q^n f(m)$ 且 $\gcd(qm-p, q)=1$，所以 $qm-p \mid f(m)$。
公式：\gcd(q, qm-p)=1 \Rightarrow (qm-p) \mid f(m)
提示：整除性质：若 $a \mid bc$ 且 $\gcd(a,b)=1$，则 $a \mid c$。
步骤 5/5
目标：转化为题目所需形式
注意到 $pm-q = -(qm-p)$，而整除性不受符号影响，因此 $pm-q \mid f(m)$ 也成立。故对任意整数 $m$，有 $pm-q \mid f(m)$。
公式：pm-q = -(qm-p) \Rightarrow (pm-q) \mid f(m)
提示：注意整除关系与符号无关。
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