📝 南京师范大学 2024年高等代数真题

1．设 $\displaystyle f(x)$ 是一个整系数多项式，$\displaystyle \frac{p}{q}$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的有理根且 $\displaystyle (p, q)=1$ ，证明：存在任意整数 $m$ ，使得 $\displaystyle p m-q \mid f(m)$ 。

3．计算行列式 $\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}a+x_{1} & a+x_{1}^{2} & \cdots & a+x_{1}^{n} \\ a+x_{2} & a+x_{2}^{2} & \cdots & a+x_{2}^{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a+x_{n} & a+x_{n}^{2} & \cdots & a+x_{n}^{n}\end{array}\right|$ ．

4．设非齐次线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1 \\ 4 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}-x_{4}=-1 \text { 有三个线性无关的解．} \\ a x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+b x_{4}=1\end{array}\right.$
（1）证明：该方程组的系数矩阵 $A$ 的秩 $\displaystyle r(A)=2$ ；
（2）求 $\displaystyle a, b$ 的值并求方程组的通解．

5．若 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\displaystyle A+E$ 可逆，且有 $\displaystyle f(A)=(E-A)(E+A)^{-1}$ ，证明：
（1）$\displaystyle (E+f(A))(E+A)=2 E$ ；
（2）$\displaystyle f(f(A))=A$ ．

6．设 $A$ 为实对称矩阵，$E$ 为单位矩阵，求证：存在一个极小数 $\displaystyle \varepsilon$ ，使得 $\displaystyle E+\varepsilon A$ 为正定阵．

7．若 $\displaystyle W, W_{1}, W_{2}$ 是线性空间 $V$ 的子空间，$\displaystyle W_{1} \subseteq W, V=W_{1} \oplus W_{2}$ ，证明：

$$
\operatorname{dim} W=\operatorname{dim} W_{1}+\operatorname{dim}\left(W_{2} \cap W\right)
$$

8．设 $V$ 是全体次数不超过 $n$ 的实系数多项式，再添上零多项式组成的实数域上的线性空间，定义 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ ，任给 $\displaystyle f(x) \in V$ ，有 $\displaystyle \mathcal{A}(f(x))=x f^{\prime}(x)-f(x)$ ．
（1）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的核 $\displaystyle \mathcal{A}^{-1}(0)$ 和值域 $\displaystyle \mathcal{A} V$ ；
（2）证明：$\displaystyle V=\mathcal{A}^{-1}(0) \oplus \mathcal{A} V$ ．