南京师范大学 2024年高等代数第6题
📝 题目
6．设 $A$ 为实对称矩阵，$E$ 为单位矩阵，求证：存在一个极小数 $\displaystyle \varepsilon$ ，使得 $\displaystyle E+\varepsilon A$ 为正定阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用实对称矩阵的正交对角化
由于 $A$ 是实对称矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值。
公式：$Q^T A Q = \Lambda$
提示：确保 $Q$ 是正交矩阵，即 $Q^T Q = E$。
步骤 2/7
目标：将 $E+\varepsilon A$ 合同对角化
考虑 $Q^T (E+\varepsilon A) Q = Q^T E Q + \varepsilon Q^T A Q = E + \varepsilon \Lambda = \operatorname{diag}(1+\varepsilon \lambda_1, \dots, 1+\varepsilon \lambda_n)$。由于合同变换不改变正定性，$E+\varepsilon A$ 正定当且仅当 $E+\varepsilon \Lambda$ 正定。
公式：$Q^T (E+\varepsilon A) Q = E + \varepsilon \Lambda$
提示：合同变换保持正定性，但注意这里 $Q$ 是正交矩阵，所以也是相似变换。
步骤 3/7
目标：正定性的等价条件
对角矩阵 $E+\varepsilon \Lambda$ 正定当且仅当所有对角元 $1+\varepsilon \lambda_i > 0$ 对 $i=1,\dots,n$ 成立。
公式：$1+\varepsilon \lambda_i > 0, \forall i$
提示：对角矩阵正定等价于所有对角元为正数。
步骤 4/7
目标：分析特征值的符号
设 $\lambda_{\max} = \max_i \lambda_i$，$\lambda_{\min} = \min_i \lambda_i$。若 $\lambda_{\min} \ge 0$，则 $A$ 半正定，此时对任意 $\varepsilon > 0$，$1+\varepsilon \lambda_i \ge 1 > 0$，故 $E+\varepsilon A$ 正定。特别地，$\varepsilon=0$ 时 $E$ 正定。若 $\lambda_{\min} < 0$，则需考虑 $\varepsilon$ 的范围。
提示：注意 $\varepsilon$ 可正可负，但通常取正数。
步骤 5/7
目标：确定 $\varepsilon$ 的取值范围
当 $\lambda_{\min} < 0$ 时，对于负特征值 $\lambda_i < 0$，条件 $1+\varepsilon \lambda_i > 0$ 要求 $\varepsilon < -1/\lambda_i$；对于正特征值 $\lambda_i > 0$，条件自动满足（若 $\varepsilon > 0$）。因此，若取 $\varepsilon > 0$，则只需 $\varepsilon < \min_{\lambda_i < 0} (-1/\lambda_i) = 1/|\lambda_{\min}|$。
公式：$\varepsilon < \frac{1}{|\lambda_{\min}|}$
提示：注意 $\lambda_{\min}$ 是最小特征值，若为负则绝对值最大。
步骤 6/7
目标：统一表述存在性
令 $\varepsilon_0 = \frac{1}{\max_i |\lambda_i|}$，则当 $|\varepsilon| < \varepsilon_0$ 时，$|\varepsilon \lambda_i| \le |\varepsilon| \max |\lambda_i| < 1$，从而 $1+\varepsilon \lambda_i > 0$ 对所有 $i$ 成立。因此存在这样的 $\varepsilon$（例如 $\varepsilon = \varepsilon_0/2$），且 $\varepsilon_0$ 是一个上界。
公式：$\varepsilon_0 = \frac{1}{\max_i |\lambda_i|}$
提示：这里 $\varepsilon$ 可以是正数，也可以是绝对值很小的负数，但题目通常考虑 $\varepsilon > 0$。
步骤 7/7
目标：结论
综上，存在一个极小的正数 $\varepsilon$（例如 $\varepsilon = \frac{1}{2\max_i |\lambda_i|}$）使得 $E+\varepsilon A$ 为正定矩阵。
提示：“极小数”指存在一个正数 $\varepsilon$ 满足条件，且可以取任意小的正数。
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