南京师范大学 2024年高等代数第5题
📝 题目
5．若 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\displaystyle A+E$ 可逆，且有 $\displaystyle f(A)=(E-A)(E+A)^{-1}$ ，证明：
（1）$\displaystyle (E+f(A))(E+A)=2 E$ ；
（2）$\displaystyle f(f(A))=A$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出f(A)的定义并计算(E+f(A))(E+A)
由定义 $f(A) = (E - A)(E + A)^{-1}$，计算
\[
(E + f(A))(E + A) = \left[E + (E - A)(E + A)^{-1}\right](E + A) = (E + A) + (E - A) = 2E.
\]
公式：$f(A) = (E - A)(E + A)^{-1}$
提示：注意矩阵乘法顺序，$(E+A)^{-1}$ 与 $(E+A)$ 相乘为单位阵。
步骤 2/5
目标：由(1)的结论推导(E+f(A))可逆并求逆
由 (1) 知 $(E + f(A))(E + A) = 2E$，两边左乘 $(E + f(A))^{-1}$ 得 $E + A = 2(E + f(A))^{-1}$，所以 $(E + f(A))^{-1} = \frac{1}{2}(E + A)$。
公式：$(E + f(A))^{-1} = \frac{1}{2}(E + A)$
提示：注意逆矩阵的唯一性，推导时需确保可逆性。
步骤 3/5
目标：写出f(f(A))的定义并代入逆矩阵
由定义 $f(f(A)) = (E - f(A))(E + f(A))^{-1}$，代入 $(E + f(A))^{-1} = \frac{1}{2}(E + A)$ 得
\[
f(f(A)) = (E - f(A)) \cdot \frac{1}{2}(E + A) = \frac{1}{2}(E - f(A))(E + A).
\]
公式：$f(f(A)) = (E - f(A))(E + f(A))^{-1}$
提示：注意复合函数定义，将 $f(A)$ 视为新的矩阵代入。
步骤 4/5
目标：从(1)解出f(A)的表达式
由 (1) 得 $(E + f(A))(E + A) = 2E$，两边右乘 $(E + A)^{-1}$ 得 $E + f(A) = 2(E + A)^{-1}$，所以 $f(A) = 2(E + A)^{-1} - E$。
公式：$f(A) = 2(E + A)^{-1} - E$
提示：注意右乘逆矩阵的顺序，$(E+A)$ 可逆由题设保证。
步骤 5/5
目标：将f(A)表达式代入f(f(A))并化简
将 $f(A) = 2(E + A)^{-1} - E$ 代入 $E - f(A)$ 得 $E - f(A) = E - [2(E + A)^{-1} - E] = 2E - 2(E + A)^{-1}$。于是
\[
f(f(A)) = \frac{1}{2} \left[2E - 2(E + A)^{-1}\right] (E + A) = \left[E - (E + A)^{-1}\right] (E + A) = (E + A) - E = A.
\]
提示：注意矩阵乘法分配律，$(E+A)^{-1}(E+A)=E$。
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