南京师范大学 2024年高等代数第7题
📝 题目
7．若 $\displaystyle W, W_{1}, W_{2}$ 是线性空间 $V$ 的子空间，$\displaystyle W_{1} \subseteq W, V=W_{1} \oplus W_{2}$ ，证明：
$$
\operatorname{dim} W=\operatorname{dim} W_{1}+\operatorname{dim}\left(W_{2} \cap W\right)
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定维数符号
设 $\dim W_1 = r$，$\dim W = s$，$\dim (W_2 \cap W) = t$。
提示：注意维数都是非负整数。
步骤 2/6
目标：利用直和性质
由于 $V = W_1 \oplus W_2$，根据直和的定义，$W_1 \cap W_2 = \{0\}$。
公式：$W_1 \cap W_2 = \{0\}$
提示：直和意味着和是唯一的，且交为零空间。
步骤 3/6
目标：证明 $W = W_1 + (W_2 \cap W)$
任取 $w \in W$。因为 $V = W_1 \oplus W_2$，存在唯一的 $w_1 \in W_1$ 和 $w_2 \in W_2$ 使得 $w = w_1 + w_2$。由于 $w \in W$ 且 $w_1 \in W_1 \subseteq W$，所以 $w_2 = w - w_1 \in W$，因此 $w_2 \in W_2 \cap W$。于是 $w = w_1 + w_2 \in W_1 + (W_2 \cap W)$，故 $W \subseteq W_1 + (W_2 \cap W)$。显然 $W_1 + (W_2 \cap W) \subseteq W$，所以 $W = W_1 + (W_2 \cap W)$。
公式：$W = W_1 + (W_2 \cap W)$
提示：注意 $w_2$ 属于 $W$ 的推导：$w_2 = w - w_1$，而 $w, w_1 \in W$。
步骤 4/6
目标：证明和是直和
考虑 $W_1 \cap (W_2 \cap W) = (W_1 \cap W_2) \cap W = \{0\} \cap W = \{0\}$。因此 $W_1$ 与 $W_2 \cap W$ 的交只有零向量，所以和是直和，即 $W = W_1 \oplus (W_2 \cap W)$。
公式：$W_1 \cap (W_2 \cap W) = \{0\}$
提示：利用 $W_1 \cap W_2 = \{0\}$ 和集合交的结合律。
步骤 5/6
目标：应用维数公式
对于直和，维数等于各子空间维数之和，因此 $\dim W = \dim W_1 + \dim (W_2 \cap W)$。
公式：$\dim (U \oplus V) = \dim U + \dim V$
提示：直和维数公式是线性代数基本结论。
步骤 6/6
目标：结论
所以 $\dim W = \dim W_1 + \dim (W_2 \cap W)$，证毕。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。