南京师范大学 2024年高等代数第8题
📝 题目
8．设 $V$ 是全体次数不超过 $n$ 的实系数多项式，再添上零多项式组成的实数域上的线性空间，定义 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ ，任给 $\displaystyle f(x) \in V$ ，有 $\displaystyle \mathcal{A}(f(x))=x f^{\prime}(x)-f(x)$ ．
（1）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的核 $\displaystyle \mathcal{A}^{-1}(0)$ 和值域 $\displaystyle \mathcal{A} V$ ；
（2）证明：$\displaystyle V=\mathcal{A}^{-1}(0) \oplus \mathcal{A} V$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出线性变换的表达式
设 $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\in V$，则 $f'(x)=a_1+2a_2x+\cdots+na_nx^{n-1}$。于是 $\mathcal{A}(f(x))=x f'(x)-f(x)=x(a_1+2a_2x+\cdots+na_nx^{n-1})-(a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n)=-a_0+0\cdot x+ a_2x^2+\cdots+(n-1)a_nx^n$。
公式：$\mathcal{A}(f(x)) = -a_0 + \sum_{k=2}^n (k-1)a_k x^k$
提示：注意 $x f'(x)$ 展开后与 $f(x)$ 相减时，一次项系数会抵消。
步骤 2/5
目标：求核空间
核 $\mathcal{A}^{-1}(0)=\{f(x)\in V\mid \mathcal{A}(f(x))=0\}$。由表达式，$\mathcal{A}(f(x))=0$ 当且仅当 $-a_0=0$，且 $a_2=0,\ldots,(n-1)a_n=0$，即 $a_0=0$，$a_2=\cdots=a_n=0$，而 $a_1$ 任意。故 $\ker\mathcal{A}=\{a_1x\mid a_1\in\mathbb{R}\}$，即一次单项式构成的子空间，维数为1。
公式：$\ker\mathcal{A} = \{a_1 x \mid a_1 \in \mathbb{R}\}$
提示：注意 $a_1$ 的系数在表达式中为0，因此 $a_1$ 不受约束。
步骤 3/5
目标：求值域
值域 $\mathcal{A}V=\{\mathcal{A}(f(x))\mid f(x)\in V\}$。由表达式，$\mathcal{A}(f(x))=-a_0+ a_2x^2+\cdots+(n-1)a_nx^n$，其中 $a_0,a_2,\ldots,a_n$ 任意。因此值域中的多项式常数项任意，一次项系数为0，二次及以上系数任意。故 $\mathcal{A}V=\{b_0+b_2x^2+\cdots+b_nx^n\mid b_i\in\mathbb{R}\}$，维数为 $n$。
公式：$\mathcal{A}V = \{b_0 + b_2 x^2 + \cdots + b_n x^n \mid b_i \in \mathbb{R}\}$
提示：注意一次项系数恒为0，值域中不含一次项。
步骤 4/5
目标：证明核与值域的交集为零
若 $f\in\ker\mathcal{A}\cap\mathcal{A}V$，则 $f$ 同时属于核和值域。由核知 $f=a_1x$，由值域知 $f$ 无一次项，故 $a_1=0$，从而 $f=0$。因此 $\ker\mathcal{A}\cap\mathcal{A}V=\{0\}$。
提示：注意核中只有一次项，值域中无一次项，故交集只有零多项式。
步骤 5/5
目标：计算维数并证明直和
已知 $\dim\ker\mathcal{A}=1$，$\dim\mathcal{A}V=n$，而 $\dim V=n+1$。由维数公式，$\dim(\ker\mathcal{A}+\mathcal{A}V)=\dim\ker\mathcal{A}+\dim\mathcal{A}V-\dim(\ker\mathcal{A}\cap\mathcal{A}V)=1+n-0=n+1=\dim V$。因此 $\ker\mathcal{A}+\mathcal{A}V=V$，结合交集为零，得 $V=\ker\mathcal{A}\oplus\mathcal{A}V$。
公式：$\dim(\ker\mathcal{A}+\mathcal{A}V)=\dim\ker\mathcal{A}+\dim\mathcal{A}V-\dim(\ker\mathcal{A}\cap\mathcal{A}V)$
提示：直和需要同时满足和等于全空间且交集为零。
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