南京师范大学 2024年高等代数第3题
📝 题目
3．计算行列式 $\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}a+x_{1} & a+x_{1}^{2} & \cdots & a+x_{1}^{n} \\ a+x_{2} & a+x_{2}^{2} & \cdots & a+x_{2}^{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a+x_{n} & a+x_{n}^{2} & \cdots & a+x_{n}^{n}\end{array}\right|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将行列式拆分为两个行列式的和
原行列式 $D_n$ 的每一列都是 $a$ 与 $x_i^k$ 的和，因此可以将每一列拆成两个列的和：第一列拆成 $(a, a, \dots, a)^T$ 和 $(x_1, x_2, \dots, x_n)^T$，第二列拆成 $(a, a, \dots, a)^T$ 和 $(x_1^2, x_2^2, \dots, x_n^2)^T$，依此类推。利用行列式的线性性质，$D_n$ 可表示为两个行列式的和：
$$ D_n = \begin{vmatrix} a & a & \cdots & a \\ a & a & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & \cdots & a \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n \end{vmatrix} $$
公式：行列式的线性性质：若某列可拆成两列之和，则行列式等于两个行列式之和。
提示：注意拆分时，每个列只能拆成两个列的和，且其他列保持不变。这里所有列都拆成含 $a$ 的列和含 $x_i^k$ 的列，但第一个行列式的所有列都是 $(a, a, \dots, a)^T$。
步骤 2/5
目标：计算第一个行列式
第一个行列式的所有行完全相同（每行都是 $a, a, \dots, a$），因此该行列式的行向量线性相关，行列式值为0。即：
$$ \begin{vmatrix} a & a & \cdots & a \\ a & a & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & \cdots & a \end{vmatrix} = 0 $$
公式：若行列式有两行相同，则行列式为0。
提示：不要误以为所有元素都是 $a$ 的行列式等于 $a^n$，实际上因为行相同，行列式必为0。
步骤 3/5
目标：识别第二个行列式为范德蒙行列式
第二个行列式为：
$$ \begin{vmatrix} x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n \end{vmatrix} $$
观察其结构：第 $j$ 列是 $x_i^j$，即第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $x_i^j$。这类似于范德蒙行列式，但范德蒙行列式的第一列是 $1$，而这里是 $x_i$。因此，我们可以从每一行提取公因子 $x_i$，得到：
$$ \begin{vmatrix} x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n \end{vmatrix} = \left( \prod_{i=1}^n x_i \right) \begin{vmatrix} 1 & x_1 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} $$
公式：范德蒙行列式：$\begin{vmatrix} 1 & x_1 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)$
提示：提取公因子时，注意每行提取 $x_i$，共 $n$ 行，所以乘积为 $\prod_{i=1}^n x_i$。
步骤 4/5
目标：计算范德蒙行列式
提取公因子后的行列式是标准的范德蒙行列式，其值为：
$$ \begin{vmatrix} 1 & x_1 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i) $$
公式：范德蒙行列式公式
提示：注意乘积下标 $i < j$，且因子是 $(x_j - x_i)$，顺序不能颠倒。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此，原行列式 $D_n$ 等于第二个行列式，即：
$$ D_n = \left( \prod_{i=1}^n x_i \right) \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i) $$
提示：注意结果中包含了 $\prod x_i$，不要遗漏。
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