南京航空航天大学 2024年高等代数第1题

计算 $\det(\lambda I - A)$，其中 $A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 4 \\ 4 & -7 & 8 \\ 6 & -7 & 7 \end{pmatrix}$。 $$\lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda-1 & 3 & -4 \\ -4 & \lambda+7 & -8 \\ -6 & 7 & \lambda-7 \end{pmatrix}$$ 按第一行展开： $$\det = (\lambda-1)\begin{vmatrix} \lambda+7 & -8 \\ 7 & \lambda-7 \end{vmatrix} - 3\begin{vmatrix} -4 & -8 \\ -6 & \lambda-7 \end{vmatrix} + (-4)\begin{vmatrix} -4 & \lambda+7 \\ -6 & 7 \end{vmatrix}$$ 计算各子式： $$\begin{vmatrix} \lambda+7 & -8 \\ 7 & \lambda-7 \end{vmatrix} = (\lambda+7)(\lambda-7)+56 = \lambda^2+7$$ $$\begin{vmatrix} -4 & -8 \\ -6 & \lambda-7 \end{vmatrix} = (-4)(\lambda-7)-(-8)(-6) = -4\lambda-20$$ $$\begin{vmatrix} -4 & \lambda+7 \\ -6 & 7 \end{vmatrix} = (-4)(7)-(\lambda+7)(-6) = 6\lambda+14$$ 代入得： $$\det = (\lambda-1)(\lambda^2+7) -3(-4\lambda-20) -4(6\lambda+14) = \lambda^3 - \lambda^2 -5\lambda -3$$ 所以特征多项式为 $f(\lambda)=\lambda^3-\lambda^2-5\lambda-3$。

解特征方程 $f(\lambda)=0$。尝试有理根 $\pm1,\pm3$。 $f(1)=1-1-5-3=-8\neq0$，$f(-1)=-1-1+5-3=0$，所以 $\lambda=-1$ 是一个根。 多项式除法： $$(\lambda^3-\lambda^2-5\lambda-3) \div (\lambda+1) = \lambda^2-2\lambda-3$$ 因式分解：$\lambda^2-2\lambda-3 = (\lambda-3)(\lambda+1)$。 所以特征多项式为 $(\lambda+1)^2(\lambda-3)$。 特征值：$\lambda_1=-1$（代数重数2），$\lambda_2=3$（代数重数1）。

最小多项式是特征多项式的因式，且包含所有不同特征值。可能的形式：$(\lambda+1)(\lambda-3)$ 或 $(\lambda+1)^2(\lambda-3)$。 计算 $(A+I)(A-3I)$ 是否为零矩阵。 $$A+I = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 4 \\ 4 & -6 & 8 \\ 6 & -7 & 8 \end{pmatrix}, \quad A-3I = \begin{pmatrix} -2 & -3 & 4 \\ 4 & -10 & 8 \\ 6 & -7 & 4 \end{pmatrix}$$ 乘积第一行第一列：$2(-2)+(-3)(4)+4(6) = -4-12+24=8 \neq 0$，所以 $(A+I)(A-3I) \neq 0$。 因此最小多项式为 $(\lambda+1)^2(\lambda-3)$。

由最小多项式有因子 $(\lambda+1)^2$，对应特征值-1的Jordan块大小为2（因为代数重数2，且最小多项式次数2）。特征值3的Jordan块大小为1。 所以Jordan标准形为： $$J = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

初等因子是每个Jordan块对应的特征多项式因子： - 对于特征值-1，Jordan块大小为2，初等因子为 $(\lambda+1)^2$ - 对于特征值3，Jordan块大小为1，初等因子为 $(\lambda-3)$ 所以初等因子为：$(\lambda+1)^2,\ \lambda-3$。