📝 南京航空航天大学 2024年高等代数真题

1．给定矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -3 & 4 \\
4 & -7 & 8 \\
6 & -7 & 7
\end{array}\right)
$$

（1）求 $A$ 的特征值和最小多项式．
（2）求 $A$ 的初等因子和 Jordan 标准形．

2．设 $\displaystyle V_{1}$ 是由

$$
\alpha_{1}=(1,1, a)^{T}, \alpha_{2}=(-2, a, 4)^{T}, \alpha_{3}=(-2, a,-2)^{T}
$$

生成的 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的子空间，$\displaystyle V_{2}$ 是由

$$
\beta_{1}=(1,1, a)^{T}, \beta_{2}=(1, a, 1)^{T}, \beta_{3}=(a, 1,1)^{T}
$$

生成的 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的子空间．
（1）若 $\displaystyle V_{1} \neq V_{2}$ ，求 $a$ 的范围．
（2）当 $\displaystyle a=2$ 时，求 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)$ ．

3．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上的线性变换，$\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,1,0)^{T}, \varepsilon_{2}=(0,1,1)^{T}, \varepsilon_{3}=(1,1,1)^{T}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的一组基，$\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$下的矩阵为 $A$ ，且 $\displaystyle \sigma\left(\varepsilon_{1}\right)=(1,0,0)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{2}\right)=(0,1,1)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{3}\right)=(1,1+a, a)^{T}$ ．
（1）若 $\displaystyle \sigma$ 可对角化，求 $a$ 的值．
（2）当 $\displaystyle a=2$ 时，求 $\displaystyle A^{2023}$ ．

4．设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中的单位列向量且相互正交，实二次型 $\displaystyle f(X)=2\left(\alpha^{T} X\right)^{2}+\left(\beta^{T} X\right)^{2}$ 的矩阵为 $A$ ，其中 $\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}$ ．证明：
（1）存在正交矩阵 $U$ ，使得 $\displaystyle U^{T} A U$ 为对角形 $\displaystyle \operatorname{diag}\{2,1,0\}$ ．
（2）是否存在唯一的半正定矩阵 $S$ 使得 $\displaystyle A=S^{2}$ ？请说明理由．

5．设 $\displaystyle A, B$ 是两个 $n$ 阶矩阵，且 $\displaystyle A B=4 B+3 A-10 E$ ．证明：
（1）$\displaystyle \lambda=4$ 不是 $A$ 的特征值，且 $\displaystyle A B=B A$ ．
（2）若 $A$ 相似于对角矩阵，则存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 均为对角矩阵．

6．设 $\displaystyle A, B, C, D$ 都是 $n$ 阶矩阵且 $\displaystyle A B=B A$ ．证明：
（1）若 $\displaystyle r(A)=n$ ，则 $\displaystyle r\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)=n+r(D A-C B)$ ．
（2）$\displaystyle \left|\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right|=|D A-C B|$ ．

7．设复方阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，记 $\displaystyle \bar{A}=\left(\bar{a}_{i j}\right)_{n \times n}\left(\bar{a}_{i j}\right.$ 为 $\displaystyle a_{i j}$ 的共轭复数）．如果复方阵 $A$ 满足 $\displaystyle (\bar{A})^{T}=A$ ，称 $A$为 Hermite 矩阵．证明：
（1）若复方阵 $A$ 为 Hermite 矩阵，则 $A$ 的特征值均为实数．
（2）若复方阵 $A$ 满足 $\displaystyle A(\bar{A})^{T}=A^{2}$ ，则 $A$ 为 Hermite 矩阵。

8．设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的线性变换，多项式 $\displaystyle f(x), g(x) \in P[x]$ ，且 $\displaystyle h(x)=f(x) g(x)$ ， $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，记 $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=\{\alpha \mid \alpha \in V, \sigma(\alpha)=0\}$ ．证明：
（1） $\displaystyle \operatorname{Ker} h(\sigma)=\operatorname{Ker} f(\sigma) \oplus \operatorname{Ker} g(\sigma)$ ．
（2） $\displaystyle \operatorname{dimKer} \sigma+\operatorname{dimKer} \sigma^{3} \leq 2 \operatorname{dimKer} \sigma^{2}$ ．