南京航空航天大学 2024年高等代数第6题
📝 题目
6．设 $\displaystyle A, B, C, D$ 都是 $n$ 阶矩阵且 $\displaystyle A B=B A$ ．证明：
（1）若 $\displaystyle r(A)=n$ ，则 $\displaystyle r\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)=n+r(D A-C B)$ ．
（2）$\displaystyle \left|\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right|=|D A-C B|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用A可逆进行分块初等变换
由于 $r(A)=n$，$A$ 可逆。对分块矩阵左乘初等矩阵 $\begin{pmatrix} I & 0 \\ -CA^{-1} & I \end{pmatrix}$，得到
\[
\begin{pmatrix}
A & B \\
C & D
\end{pmatrix}
\xrightarrow{\text{左乘 } \begin{pmatrix} I & 0 \\ -CA^{-1} & I \end{pmatrix}}
\begin{pmatrix}
A & B \\
0 & D - CA^{-1}B
\end{pmatrix}.
\]
公式：分块矩阵的初等变换：左乘 $\begin{pmatrix} I & 0 \\ -CA^{-1} & I \end{pmatrix}$ 消去左下块
提示：注意左乘矩阵的行列式为1，不改变秩和行列式（除符号外）。
步骤 2/5
目标：化简右下块表达式
由 $AB=BA$，两边左乘 $A^{-1}$ 得 $B = A^{-1}BA$，即 $A^{-1}B = BA^{-1}$。因此
\[
D - CA^{-1}B = D - CBA^{-1} = (DA - CB)A^{-1}.
\]
公式：矩阵乘法结合律：$CBA^{-1} = C(BA^{-1}) = C(A^{-1}B)$
提示：注意 $A^{-1}B = BA^{-1}$ 成立的条件是 $AB=BA$。
步骤 3/5
目标：计算秩（第一问）
分块矩阵的秩等于 $r(A) + r(D - CA^{-1}B)$，因为左上块可逆且左下块消为零。所以
\[
r\begin{pmatrix}
A & B \\
C & D
\end{pmatrix}
= n + r((DA-CB)A^{-1}) = n + r(DA-CB),
\]
因为 $A^{-1}$ 可逆，右乘不改变秩。
公式：$r((DA-CB)A^{-1}) = r(DA-CB)$
提示：可逆矩阵乘矩阵不改变秩。
步骤 4/5
目标：计算行列式（第二问）
由初等变换，行列式满足
\[
\begin{vmatrix}
A & B \\
C & D
\end{vmatrix}
= \begin{vmatrix}
A & B \\
0 & D - CA^{-1}B
\end{vmatrix}
= |A| \cdot |D - CA^{-1}B|.
\]
公式：分块三角矩阵的行列式等于对角块行列式的乘积
提示：注意变换是左乘行列式为1的矩阵，所以行列式不变。
步骤 5/5
目标：代入化简得结果
将 $D - CA^{-1}B = (DA-CB)A^{-1}$ 代入，得
\[
|D - CA^{-1}B| = |DA-CB| \cdot |A^{-1}| = |DA-CB| \cdot |A|^{-1}.
\]
因此
\[
\begin{vmatrix}
A & B \\
C & D
\end{vmatrix}
= |A| \cdot |DA-CB| \cdot |A|^{-1} = |DA-CB|.
\]
公式：$|(DA-CB)A^{-1}| = |DA-CB| \cdot |A|^{-1}$
提示：注意 $|A|$ 非零，可约去。
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