南京航空航天大学 2024年高等代数第5题
📝 题目
5．设 $\displaystyle A, B$ 是两个 $n$ 阶矩阵，且 $\displaystyle A B=4 B+3 A-10 E$ ．证明：
（1）$\displaystyle \lambda=4$ 不是 $A$ 的特征值，且 $\displaystyle A B=B A$ ．
（2）若 $A$ 相似于对角矩阵，则存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 均为对角矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：变形已知等式，得到矩阵乘积形式
由 $AB = 4B + 3A - 10E$ 移项得 $AB - 3A - 4B = -10E$，左边加 $12E$ 得 $(A-4E)(B-3E) = 2E$。
公式：$(A-4E)(B-3E) = 2E$
提示：注意添加 $12E$ 是为了凑出 $(A-4E)(B-3E)$ 的展开形式。
步骤 2/6
目标：证明 $\lambda=4$ 不是 $A$ 的特征值
由 $(A-4E)(B-3E) = 2E$ 知 $A-4E$ 可逆（因为其与 $B-3E$ 的乘积是可逆矩阵 $2E$），故 $\det(A-4E) \neq 0$，即 $4$ 不是 $A$ 的特征值。
提示：可逆矩阵的行列式非零，因此 $\lambda=4$ 不是特征值。
步骤 3/6
目标：证明 $AB=BA$
由 $(A-4E)(B-3E) = 2E$ 两边左乘 $(A-4E)^{-1}$ 得 $B-3E = 2(A-4E)^{-1}$，右乘 $(A-4E)^{-1}$ 得 $(B-3E)(A-4E) = 2E$，因此 $(A-4E)(B-3E) = (B-3E)(A-4E)$，展开即得 $AB = BA$。
公式：$(A-4E)(B-3E) = (B-3E)(A-4E)$
提示：注意矩阵乘法不满足交换律，但这里通过逆矩阵推导出交换性。
步骤 4/6
目标：利用 $A$ 可对角化，设出对角化矩阵
由于 $A$ 相似于对角矩阵，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \Lambda$，其中 $\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$。
公式：$P^{-1}AP = \Lambda$
提示：这里 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值，且由（1）知 $\lambda_i \neq 4$。
步骤 5/6
目标：将 $B$ 表示为 $A$ 的多项式
由 $(A-4E)(B-3E) = 2E$ 得 $B-3E = 2(A-4E)^{-1}$，即 $B = 3E + 2(A-4E)^{-1}$。
公式：$B = 3E + 2(A-4E)^{-1}$
提示：注意 $A-4E$ 可逆，因此逆存在。
步骤 6/6
目标：同时对角化 $A$ 和 $B$
对 $B$ 进行相似变换：$P^{-1}BP = P^{-1}(3E + 2(A-4E)^{-1})P = 3E + 2(P^{-1}(A-4E)P)^{-1} = 3E + 2(\Lambda - 4E)^{-1}$。由于 $\Lambda$ 是对角矩阵且 $\lambda_i \neq 4$，故 $(\Lambda-4E)^{-1}$ 也是对角矩阵，从而 $P^{-1}BP$ 为对角矩阵。
公式：$P^{-1}BP = 3E + 2(\Lambda - 4E)^{-1}$
提示：注意 $P^{-1}(A-4E)^{-1}P = (P^{-1}(A-4E)P)^{-1}$ 成立，因为 $P^{-1}(A-4E)P = \Lambda-4E$。
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