南京航空航天大学 2024年高等代数第2题
📝 题目
2．设 $\displaystyle V_{1}$ 是由
$$
\alpha_{1}=(1,1, a)^{T}, \alpha_{2}=(-2, a, 4)^{T}, \alpha_{3}=(-2, a,-2)^{T}
$$
生成的 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的子空间，$\displaystyle V_{2}$ 是由
$$
\beta_{1}=(1,1, a)^{T}, \beta_{2}=(1, a, 1)^{T}, \beta_{3}=(a, 1,1)^{T}
$$
生成的 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的子空间．
（1）若 $\displaystyle V_{1} \neq V_{2}$ ，求 $a$ 的范围．
（2）当 $\displaystyle a=2$ 时，求 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算V1的维数
将向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 排成矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 1 & a & a \\ a & 4 & -2 \end{pmatrix}$，通过行变换求秩。当 $a \neq -2$ 时，秩为3；当 $a = -2$ 时，秩为2。故 $\dim V_1 = \begin{cases} 3, & a \neq -2 \\ 2, & a = -2 \end{cases}$。
提示：行变换时注意 $a+2$ 是否为零，需分类讨论。
步骤 2/6
目标：计算V2的维数
将向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 排成矩阵 $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix}$，计算行列式 $\det B = -(a-1)^2(a+2)$。当 $a \neq 1, -2$ 时，秩为3；$a=1$ 时秩为1；$a=-2$ 时秩为2。故 $\dim V_2 = \begin{cases} 3, & a \neq 1, -2 \\ 1, & a=1 \\ 2, & a=-2 \end{cases}$。
公式：$\det B = -(a-1)^2(a+2)$
提示：行列式为零时需进一步判断秩，注意 $a=1$ 时三向量相同。
步骤 3/6
目标：分析V1与V2相等的情况
由于 $\alpha_1 = \beta_1$，若维数不同则 $V_1 \neq V_2$。当 $a \neq -2, 1$ 时，两者维数均为3，故 $V_1 = V_2 = \mathbb{R}^3$。当 $a = -2$ 时，两者维数均为2，需判断是否张成同一子空间。
提示：维数相同不一定子空间相等，需进一步验证。
步骤 4/6
目标：判断a=-2时V1与V2是否相等
当 $a=-2$ 时，$V_1 = \text{span}\{\alpha_1, \alpha_3\}$，其中 $\alpha_1=(1,1,-2)^T$，$\alpha_3=(-2,-2,-2)^T$；$V_2 = \text{span}\{\beta_1, \beta_2\}$，其中 $\beta_1=(1,1,-2)^T$，$\beta_2=(1,-2,1)^T$。设 $\alpha_3 = x\beta_1 + y\beta_2$，得方程组无解，故 $\alpha_3 \notin V_2$，所以 $V_1 \neq V_2$。
提示：解线性方程组时注意检查所有方程是否一致。
步骤 5/6
目标：综合得出V1≠V2的a范围
由以上分析，$V_1 \neq V_2$ 当且仅当 $a = -2$ 或 $a = 1$。
提示：注意 $a=1$ 时维数不同，直接得到不相等。
步骤 6/6
目标：计算a=2时V1∩V2的维数
当 $a=2$ 时，$\dim V_1 = 3$，$\dim V_2 = 3$，故 $V_1 = V_2 = \mathbb{R}^3$，因此 $V_1 \cap V_2 = \mathbb{R}^3$，维数为3。
提示：注意 $a=2$ 不属于 $a=-2$ 或 $a=1$，故两子空间均为全空间。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。