南京航空航天大学 2024年高等代数第3题

3．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上的线性变换，$\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,1,0)^{T}, \varepsilon_{2}=(0,1,1)^{T}, \varepsilon_{3}=(1,1,1)^{T}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的一组基，$\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$下的矩阵为 $A$ ，且 $\displaystyle \sigma\left(\varepsilon_{1}\right)=(1,0,0)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{2}\right)=(0,1,1)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{3}\right)=(1,1+a, a)^{T}$ ． （1）若 $\displaystyle \sigma$ 可对角化，求 $a$ 的值． （2）当 $\displaystyle a=2$ 时，求 $\displaystyle A^{2023}$ ．