南京航空航天大学 2024年高等代数第7题

7．设复方阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，记 $\displaystyle \bar{A}=\left(\bar{a}_{i j}\right)_{n \times n}\left(\bar{a}_{i j}\right.$ 为 $\displaystyle a_{i j}$ 的共轭复数）．如果复方阵 $A$ 满足 $\displaystyle (\bar{A})^{T}=A$ ，称 $A$为 Hermite 矩阵．证明： （1）若复方阵 $A$ 为 Hermite 矩阵，则 $A$ 的特征值均为实数． （2）若复方阵 $A$ 满足 $\displaystyle A(\bar{A})^{T}=A^{2}$ ，则 $A$ 为 Hermite 矩阵。