南京航空航天大学 2024年高等代数第8题
📝 题目
8．设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的线性变换，多项式 $\displaystyle f(x), g(x) \in P[x]$ ，且 $\displaystyle h(x)=f(x) g(x)$ ， $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，记 $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=\{\alpha \mid \alpha \in V, \sigma(\alpha)=0\}$ ．证明：
（1） $\displaystyle \operatorname{Ker} h(\sigma)=\operatorname{Ker} f(\sigma) \oplus \operatorname{Ker} g(\sigma)$ ．
（2） $\displaystyle \operatorname{dimKer} \sigma+\operatorname{dimKer} \sigma^{3} \leq 2 \operatorname{dimKer} \sigma^{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用互素多项式性质得到恒等式
由于 $(f(x), g(x)) = 1$，存在 $u(x), v(x) \in P[x]$ 使得 $u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1$。代入 $\sigma$ 得 $u(\sigma)f(\sigma) + v(\sigma)g(\sigma) = I$，其中 $I$ 是恒等变换。于是对任意 $\alpha \in V$，有 $\alpha = u(\sigma)f(\sigma)\alpha + v(\sigma)g(\sigma)\alpha$。
公式：u(\sigma)f(\sigma) + v(\sigma)g(\sigma) = I
提示：注意多项式互素是存在这样的 $u,v$ 的关键条件。
步骤 2/6
目标：证明 Ker h(σ) ⊆ Ker f(σ) + Ker g(σ)
设 $\alpha \in \operatorname{Ker} h(\sigma) = \operatorname{Ker} (f(\sigma)g(\sigma))$，则 $f(\sigma)g(\sigma)\alpha = 0$。令 $\beta = v(\sigma)g(\sigma)\alpha$，则 $f(\sigma)\beta = v(\sigma)f(\sigma)g(\sigma)\alpha = 0$，故 $\beta \in \operatorname{Ker} f(\sigma)$。令 $\gamma = u(\sigma)f(\sigma)\alpha$，则 $g(\sigma)\gamma = u(\sigma)g(\sigma)f(\sigma)\alpha = 0$，故 $\gamma \in \operatorname{Ker} g(\sigma)$。且 $\alpha = \beta + \gamma$，所以 $\alpha \in \operatorname{Ker} f(\sigma) + \operatorname{Ker} g(\sigma)$。
提示：注意 $f(\sigma)$ 和 $g(\sigma)$ 可交换，因为它们是 $\sigma$ 的多项式。
步骤 3/6
目标：证明 Ker f(σ) + Ker g(σ) ⊆ Ker h(σ)
若 $\alpha \in \operatorname{Ker} f(\sigma)$，则 $f(\sigma)\alpha = 0$，于是 $h(\sigma)\alpha = g(\sigma)f(\sigma)\alpha = 0$，故 $\alpha \in \operatorname{Ker} h(\sigma)$。同理，若 $\alpha \in \operatorname{Ker} g(\sigma)$，则 $h(\sigma)\alpha = f(\sigma)g(\sigma)\alpha = 0$，故 $\alpha \in \operatorname{Ker} h(\sigma)$。因此 $\operatorname{Ker} f(\sigma) + \operatorname{Ker} g(\sigma) \subseteq \operatorname{Ker} h(\sigma)$。
提示：注意 $h(\sigma)=f(\sigma)g(\sigma)=g(\sigma)f(\sigma)$。
步骤 4/6
目标：证明和是直和
设 $\alpha \in \operatorname{Ker} f(\sigma) \cap \operatorname{Ker} g(\sigma)$，则 $f(\sigma)\alpha = 0$，$g(\sigma)\alpha = 0$。由 $u(\sigma)f(\sigma) + v(\sigma)g(\sigma) = I$，得 $\alpha = u(\sigma)f(\sigma)\alpha + v(\sigma)g(\sigma)\alpha = 0$。故交为零，和是直和。
公式：u(\sigma)f(\sigma) + v(\sigma)g(\sigma) = I
提示：直和证明的关键是交为零，利用恒等式。
步骤 5/6
目标：应用(1)到具体多项式证明(2)
令 $f(x) = x$，$g(x) = x^2$，则 $h(x) = x^3$，且 $(f(x), g(x)) = 1$。由(1)得 $\operatorname{Ker} \sigma^3 = \operatorname{Ker} \sigma \oplus \operatorname{Ker} \sigma^2$。于是 $\dim \operatorname{Ker} \sigma^3 = \dim \operatorname{Ker} \sigma + \dim \operatorname{Ker} \sigma^2$。从而 $\dim \operatorname{Ker} \sigma + \dim \operatorname{Ker} \sigma^3 = 2\dim \operatorname{Ker} \sigma + \dim \operatorname{Ker} \sigma^2$。
公式：\operatorname{Ker} \sigma^3 = \operatorname{Ker} \sigma \oplus \operatorname{Ker} \sigma^2
提示：注意 $x$ 和 $x^2$ 互素，因为它们的最大公因式为1。
步骤 6/6
目标：利用包含关系得到不等式
由于 $\operatorname{Ker} \sigma \subseteq \operatorname{Ker} \sigma^2$，所以 $\dim \operatorname{Ker} \sigma \leq \dim \operatorname{Ker} \sigma^2$。因此 $2\dim \operatorname{Ker} \sigma + \dim \operatorname{Ker} \sigma^2 \leq 2\dim \operatorname{Ker} \sigma^2$。即 $\dim \operatorname{Ker} \sigma + \dim \operatorname{Ker} \sigma^3 \leq 2\dim \operatorname{Ker} \sigma^2$。
提示：包含关系 $\operatorname{Ker} \sigma \subseteq \operatorname{Ker} \sigma^2$ 是因为若 $\sigma(\alpha)=0$ 则 $\sigma^2(\alpha)=0$。
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