南京航空航天大学 2026年高等代数第5题
📝 题目
5．解答如下问题：
（1）$n$ 阶矩阵 $A$ 正定，证明：$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\left|\begin{array}{cc}A & X \\ X^{\mathrm{T}} & 0\end{array}\right|$ 负定．
（2）$\displaystyle \alpha, \beta$ 为 $n$ 维列向量，证明：$\displaystyle \left|A+\alpha^{\mathrm{T}} \beta\right|=|A|+\alpha^{\mathrm{T}} A^{*} \beta$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用分块矩阵行列式公式化简
对于分块矩阵 $\begin{pmatrix} A & X \\ X^{\mathrm{T}} & 0 \end{pmatrix}$，其中 $A$ 可逆，应用公式 $\begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix} = |A| \cdot |D - C A^{-1} B|$。令 $B = X$, $C = X^{\mathrm{T}}$, $D = 0$，则 $f = |A| \cdot |0 - X^{\mathrm{T}} A^{-1} X| = |A| \cdot (-X^{\mathrm{T}} A^{-1} X) = -|A| \cdot (X^{\mathrm{T}} A^{-1} X)$。
公式：$\begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix} = |A| \cdot |D - C A^{-1} B|$
提示：注意公式中 $A$ 必须可逆，这里 $A$ 正定，故可逆。
步骤 2/5
目标：利用正定性判断符号
由于 $A$ 正定，则 $|A| > 0$，且 $A^{-1}$ 也正定。对于任意非零列向量 $X$，二次型 $X^{\mathrm{T}} A^{-1} X > 0$。因此 $f = -|A| \cdot (X^{\mathrm{T}} A^{-1} X) < 0$。当 $X = 0$ 时，$f = 0$。所以 $f$ 是负定二次型。
提示：正定矩阵的逆矩阵也是正定的，且正定二次型恒正。
步骤 3/5
目标：证明行列式恒等式（可逆情形）
设 $A$ 可逆，则 $|A + \alpha \beta^{\mathrm{T}}| = |A| \cdot |I + A^{-1} \alpha \beta^{\mathrm{T}}|$。利用公式 $|I + uv^{\mathrm{T}}| = 1 + v^{\mathrm{T}} u$，得 $|A + \alpha \beta^{\mathrm{T}}| = |A| (1 + \beta^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha) = |A| + |A| \beta^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha$。
公式：$|I + uv^{\mathrm{T}}| = 1 + v^{\mathrm{T}} u$
提示：注意 $\alpha \beta^{\mathrm{T}}$ 是秩1矩阵，$A^{-1} \alpha \beta^{\mathrm{T}}$ 也是秩1矩阵。
步骤 4/5
目标：引入伴随矩阵
由伴随矩阵性质 $A^{*} = |A| A^{-1}$，则 $|A| \beta^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha = \beta^{\mathrm{T}} (|A| A^{-1}) \alpha = \beta^{\mathrm{T}} A^{*} \alpha$。因此 $|A + \alpha \beta^{\mathrm{T}}| = |A| + \beta^{\mathrm{T}} A^{*} \alpha$。
公式：$A^{*} = |A| A^{-1}$
提示：注意 $\beta^{\mathrm{T}} A^{*} \alpha$ 是标量，顺序不可交换。
步骤 5/5
目标：处理不可逆情形（连续性）
若 $A$ 不可逆，考虑 $A_t = A + tI$，当 $t \to 0$ 时 $A_t$ 可逆。由连续性，$|A_t + \alpha \beta^{\mathrm{T}}| = |A_t| + \beta^{\mathrm{T}} A_t^{*} \alpha$ 两边取极限即得 $|A + \alpha \beta^{\mathrm{T}}| = |A| + \beta^{\mathrm{T}} A^{*} \alpha$。
提示：伴随矩阵 $A^{*}$ 是 $A$ 的多项式函数，连续。
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