南京航空航天大学 2026年高等代数第6题
📝 题目
6．解答如下问题：
（1）已知 $\displaystyle \bar{A}^{\mathrm{T}} A=E$ ，证明：$A$ 特征值模长为 1 ．
（2）已知 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵，其中 $\displaystyle n \geq 2$ ，且 $A$ 正定，$\displaystyle A B$ 的特征值全为 1 ．证明：存在次数小于 $n$ 的多项式 $\displaystyle f(x)$ ，使得 $\displaystyle B=f(A)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：设特征值与特征向量
设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，对应的特征向量为 $\boldsymbol{x} \neq \mathbf{0}$，即 $A \boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$。
公式：A \boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}
提示：特征向量非零
步骤 2/8
目标：取共轭转置并利用条件
对 $A \boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$ 两边取共轭转置得 $\boldsymbol{x}^* A^* = \bar{\lambda} \boldsymbol{x}^*$，其中 $A^* = \bar{A}^{\mathrm{T}}$。由条件 $A^* A = E$，计算 $\boldsymbol{x}^* \boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}^* (A^* A) \boldsymbol{x} = (\boldsymbol{x}^* A^*)(A \boldsymbol{x}) = (\bar{\lambda} \boldsymbol{x}^*)(\lambda \boldsymbol{x}) = |\lambda|^2 \boldsymbol{x}^* \boldsymbol{x}$。
公式：\boldsymbol{x}^* \boldsymbol{x} = |\lambda|^2 \boldsymbol{x}^* \boldsymbol{x}
提示：注意共轭转置的运算顺序
步骤 3/8
目标：推导模长为1
由于 $\boldsymbol{x}^* \boldsymbol{x} > 0$，两边除以 $\boldsymbol{x}^* \boldsymbol{x}$ 得 $1 = |\lambda|^2$，故 $|\lambda| = 1$。
公式：|\lambda| = 1
提示：特征向量非零保证内积为正
步骤 4/8
目标：正交对角化A
由于 $A$ 正定，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^{\mathrm{T}} A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_i > 0$。令 $C = Q^{\mathrm{T}} B Q$，则 $C$ 仍为实对称矩阵。
公式：Q^{\mathrm{T}} A Q = \Lambda
提示：正交对角化要求A实对称，正定保证特征值正
步骤 5/8
目标：利用AB特征值全为1
由 $AB$ 的特征值全为1，得 $Q^{\mathrm{T}} A Q \cdot Q^{\mathrm{T}} B Q = \Lambda C$ 的特征值全为1。考虑 $\Lambda^{1/2} C \Lambda^{1/2}$，它与 $\Lambda C$ 相似（因为 $\Lambda C = \Lambda^{1/2} (\Lambda^{1/2} C \Lambda^{1/2}) \Lambda^{-1/2}$），故 $\Lambda^{1/2} C \Lambda^{1/2}$ 的特征值也全为1。
公式：\Lambda^{1/2} C \Lambda^{1/2} \sim \Lambda C
提示：注意相似变换的构造
步骤 6/8
目标：推出C = Λ^{-1}
$\Lambda^{1/2} C \Lambda^{1/2}$ 是实对称矩阵，且特征值全为1，故它等于单位矩阵：$\Lambda^{1/2} C \Lambda^{1/2} = I$。左乘 $\Lambda^{-1/2}$，右乘 $\Lambda^{-1/2}$ 得 $C = \Lambda^{-1}$。
公式：C = \Lambda^{-1}
提示：实对称矩阵可正交对角化，特征值全1则必为单位阵
步骤 7/8
目标：得到B = A^{-1}
由 $C = \Lambda^{-1}$ 得 $B = Q C Q^{\mathrm{T}} = Q \Lambda^{-1} Q^{\mathrm{T}} = A^{-1}$。
公式：B = A^{-1}
提示：正交变换保持逆关系
步骤 8/8
目标：构造多项式f(x)
由于 $A$ 正定，其特征值 $\lambda_i > 0$，存在次数小于 $n$ 的多项式 $f(x)$ 使得 $f(\lambda_i) = \lambda_i^{-1}$（例如拉格朗日插值多项式），从而 $f(A) = A^{-1} = B$。
公式：f(\lambda_i) = \lambda_i^{-1}
提示：插值多项式次数小于n，因为n个点唯一确定次数≤n-1的多项式
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