南开大学 2026年高等代数第1题
📝 题目
1、求次数最小的多项式 $\displaystyle f(x)$ ，使得
$$
(x+1)^{3}\left|(f(x)-1),(x-1)^{2}\right|(f(x)+1) .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解整除条件并转化为导数条件
由 $(x+1)^3 \mid (f(x)-1)$ 可知，$x=-1$ 是 $f(x)-1$ 的三重根，因此 $f(-1)=1$，$f'(-1)=0$，$f''(-1)=0$。由 $(x-1)^2 \mid (f(x)+1)$ 可知，$x=1$ 是 $f(x)+1$ 的二重根，因此 $f(1)=-1$，$f'(1)=0$。
提示：注意整除条件与根的重数之间的关系：$(x-a)^k \mid g(x)$ 当且仅当 $g(a)=g'(a)=\cdots=g^{(k-1)}(a)=0$。
步骤 2/6
目标：设定多项式形式并求导
由于有5个条件，可设 $f(x)$ 为4次多项式：$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$。求导得 $f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$，$f''(x)=12ax^2+6bx+2c$。
提示：多项式次数的设定应比条件数少1，但需确保解存在。
步骤 3/6
目标：代入条件得到方程组
代入 $x=-1$ 和 $x=1$ 的条件：
\[
\begin{cases}
f(-1)=a-b+c-d+e=1 \\
f'(-1)=-4a+3b-2c+d=0 \\
f''(-1)=12a-6b+2c=0 \\
f(1)=a+b+c+d+e=-1 \\
f'(1)=4a+3b+2c+d=0
\end{cases}
\]
提示：代入时注意符号，特别是 $f'(-1)$ 中 $x=-1$ 代入导数表达式。
步骤 4/6
目标：化简方程组
将方程两两组合化简：
- $f(-1)+f(1)$ 得 $2a+2c+2e=0 \Rightarrow a+c+e=0$。
- $f(-1)-f(1)$ 得 $-2b-2d=2 \Rightarrow b+d=-1$。
- $f'(-1)+f'(1)$ 得 $6b+4c+2d=0 \Rightarrow 3b+2c+d=0$。
- $f'(-1)-f'(1)$ 得 $-8a-4c=0 \Rightarrow 2a+c=0$。
- $f''(-1)=0$ 得 $12a-6b+2c=0 \Rightarrow 6a-3b+c=0$。
提示：加减消元时注意系数，避免计算错误。
步骤 5/6
目标：求解方程组
由 $2a+c=0$ 得 $c=-2a$。代入 $6a-3b+c=0$ 得 $6a-3b-2a=0 \Rightarrow 4a-3b=0 \Rightarrow b=\frac{4}{3}a$。由 $b+d=-1$ 得 $d=-1-b=-1-\frac{4}{3}a$。代入 $3b+2c+d=0$ 得 $3\cdot\frac{4}{3}a+2(-2a)+(-1-\frac{4}{3}a)=0 \Rightarrow 4a-4a-1-\frac{4}{3}a=0 \Rightarrow -1-\frac{4}{3}a=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{4}$。进而 $b=\frac{4}{3}\cdot(-\frac{3}{4})=-1$，$c=-2\cdot(-\frac{3}{4})=\frac{3}{2}$，$d=-1-(-1)=0$。由 $a+c+e=0$ 得 $-\frac{3}{4}+\frac{3}{2}+e=0 \Rightarrow \frac{3}{4}+e=0 \Rightarrow e=-\frac{3}{4}$。
提示：解方程时注意分数运算，逐步代入避免遗漏。
步骤 6/6
目标：写出多项式并验证
所以 $f(x)=-\frac{3}{4}x^4 - x^3 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{3}{4}$。验证：$f(-1)=-\frac{3}{4}+1+\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=1$，$f'(-1)=3-3-3+0=0$，$f''(-1)= -9+6+3=0$，$f(1)=-\frac{3}{4}-1+\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=-1$，$f'(1)=-3-3+3+0=0$，满足条件。次数为4，且为满足条件的最小次数多项式。
提示：验证是必要步骤，确保解正确。
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