哈尔滨工业大学 2012年高等代数第1题
📝 题目
1．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}0 & a \\ b & c\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in P\right\}, A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，定义 $W$ 的一个线性变换 $\displaystyle \tau: \tau(X)=A X, \forall X \in W$ 。
（1）证明：$W$ 是 $P$ 上的线性空间；
（2）证明：$\displaystyle \tau$ 是 $W$ 上的线性变换：
（3）是否存在 $W$ 的一组基，使得 $\displaystyle \tau$ 在该基下的矩阵是对角阵，为什么？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明W是线性空间
首先，$W$ 是 $2\times 2$ 矩阵的集合，形式为 $\begin{pmatrix}0 & a \\ b & c\end{pmatrix}$，其中 $a,b,c\in P$。对任意 $X_1=\begin{pmatrix}0 & a_1 \\ b_1 & c_1\end{pmatrix}, X_2=\begin{pmatrix}0 & a_2 \\ b_2 & c_2\end{pmatrix}\in W$ 和 $k\in P$，有 $X_1+X_2=\begin{pmatrix}0 & a_1+a_2 \\ b_1+b_2 & c_1+c_2\end{pmatrix}\in W$，$kX_1=\begin{pmatrix}0 & ka_1 \\ kb_1 & kc_1\end{pmatrix}\in W$，故 $W$ 对加法和数乘封闭。由于 $W$ 是 $M_2(P)$ 的子集，且 $M_2(P)$ 是线性空间，$W$ 满足线性空间的八条公理（加法交换律、结合律、零元、负元、数乘结合律、分配律等），因此 $W$ 是 $P$ 上的线性空间。
提示：注意验证封闭性时，要明确写出矩阵加法与数乘后的形式，并确认仍属于 $W$。
步骤 2/6
目标：证明τ是线性变换
对任意 $X,Y\in W$ 和 $k\in P$，计算 $\tau(X+Y)=A(X+Y)=AX+AY=\tau(X)+\tau(Y)$，以及 $\tau(kX)=A(kX)=k(AX)=k\tau(X)$。因此 $\tau$ 保持加法和数乘，故 $\tau$ 是 $W$ 上的线性变换。
公式：$\tau(X+Y)=\tau(X)+\tau(Y)$, $\tau(kX)=k\tau(X)$
提示：注意线性变换的定义：需要验证加法和数乘两条性质，缺一不可。
步骤 3/6
目标：选取W的一组基
取 $W$ 的一组基：$E_1=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$, $E_2=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$, $E_3=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$。容易验证它们线性无关且张成 $W$。
提示：基的选取不唯一，但通常选取最简单的形式。注意 $W$ 的维数是3。
步骤 4/6
目标：计算τ在基下的作用
计算 $\tau(E_1)=AE_1=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}=0$；$\tau(E_2)=AE_2=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}=E_1$；$\tau(E_3)=AE_3=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}=E_1$。
公式：$\tau(X)=AX$
提示：矩阵乘法要仔细，注意 $A$ 是固定的 $2\times2$ 矩阵。
步骤 5/6
目标：写出τ在该基下的矩阵
由 $\tau(E_1)=0\cdot E_1+0\cdot E_2+0\cdot E_3$，$\tau(E_2)=1\cdot E_1+0\cdot E_2+0\cdot E_3$，$\tau(E_3)=1\cdot E_1+0\cdot E_2+0\cdot E_3$，得矩阵 $M=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$。
提示：矩阵的第 $j$ 列是 $\tau(E_j)$ 在基下的坐标。
步骤 6/6
目标：判断τ是否可对角化
矩阵 $M$ 的特征多项式为 $\det(\lambda I-M)=\lambda^3$，特征值全为0。若 $\tau$ 可对角化，则 $M$ 必须相似于零矩阵，即 $M=0$，但 $M\neq 0$，故 $\tau$ 不可对角化。因此不存在 $W$ 的一组基使得 $\tau$ 的矩阵是对角阵。
公式：$\det(\lambda I-M)=\lambda^3$
提示：可对角化的充要条件是每个特征值的几何重数等于代数重数。这里特征值0的代数重数为3，几何重数为 $\dim\ker(M)=1$，不相等，故不可对角化。
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