哈尔滨工业大学 2012年高等代数第2题
📝 题目
2．求矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccc}2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2\end{array}\right)$ 为 Jordan 标准形。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出特征多项式
设 $D_n(\lambda)=\det(\lambda I - A)$，其中 $A$ 为 $n$ 阶三对角矩阵，对角线为 $2$，次对角线为 $-1$。则 $D_n(\lambda)$ 满足递推关系：$D_n(\lambda)=(\lambda-2)D_{n-1}(\lambda)-D_{n-2}(\lambda)$，初始条件 $D_1(\lambda)=\lambda-2$，$D_0(\lambda)=1$。对于 $n=6$，依次计算：
$D_2(\lambda)=(\lambda-2)^2-1$，
$D_3(\lambda)=(\lambda-2)^3-2(\lambda-2)$，
$D_4(\lambda)=(\lambda-2)^4-3(\lambda-2)^2+1$，
$D_5(\lambda)=(\lambda-2)^5-4(\lambda-2)^3+3(\lambda-2)$，
$D_6(\lambda)=(\lambda-2)^6-5(\lambda-2)^4+6(\lambda-2)^2-1$。
公式：$D_n(\lambda)=(\lambda-2)D_{n-1}(\lambda)-D_{n-2}(\lambda)$
提示：注意递推公式中符号和系数，避免计算错误。
步骤 2/5
目标：化简特征多项式
令 $t=\lambda-2$，则 $D_6(t)=t^6-5t^4+6t^2-1$。再令 $u=t^2$，得 $u^3-5u^2+6u-1=0$。解此三次方程，得三个实根：$u_1=2-2\cos\frac{\pi}{7}$，$u_2=2-2\cos\frac{2\pi}{7}$，$u_3=2-2\cos\frac{3\pi}{7}$？实际上，特征值公式已知为 $\lambda_k=2-2\cos\frac{k\pi}{7}$，$k=1,\dots,6$。验证：$\cos\frac{k\pi}{7}$ 互不相同，故 $\lambda_k$ 互异。
公式：$\lambda_k=2-2\cos\frac{k\pi}{7}$
提示：注意 $k$ 从1到6，且 $\cos\frac{k\pi}{7}$ 的值关于 $k=3.5$ 对称。
步骤 3/5
目标：判断特征值互异
由于 $\cos\frac{k\pi}{7}$ 在 $k=1,\dots,6$ 上严格单调递减，且取值不同，因此 $\lambda_k$ 互不相同。故 $A$ 有6个不同的特征值，每个特征值的代数重数为1，几何重数也为1。
提示：特征值互异是矩阵可对角化的充分条件。
步骤 4/5
目标：确定Jordan标准形结构
因为特征值互异，每个特征值对应一个1阶Jordan块。所以Jordan标准形是对角矩阵，对角线元素为所有特征值。
提示：不要误以为所有特征值相同，需仔细计算特征多项式。
步骤 5/5
目标：写出Jordan标准形
Jordan标准形为 $J=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_6)$，其中 $\lambda_k=2-2\cos\frac{k\pi}{7}$，$k=1,\dots,6$。具体数值可保留表达式。
公式：$J=\begin{pmatrix} 2-2\cos\frac{\pi}{7} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 2-2\cos\frac{2\pi}{7} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 2-2\cos\frac{6\pi}{7} \end{pmatrix}$
提示：注意特征值顺序可任意排列，但通常按 $k$ 递增顺序。
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