哈尔滨工程大学 2011年高等代数第8题
📝 题目
8．若 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 秩为 1 ，则 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用秩为1分解矩阵
由于矩阵 $A$ 的秩为 1，存在非零列向量 $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^n$ 使得 $A = \boldsymbol{u} \boldsymbol{v}^T$。设 $\boldsymbol{u} = (u_1, u_2, \dots, u_n)^T$，$\boldsymbol{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n)^T$，则 $a_{ij} = u_i v_j$。
公式：A = \boldsymbol{u} \boldsymbol{v}^T
提示：注意 $\boldsymbol{u}$ 和 $\boldsymbol{v}$ 都是列向量，$\boldsymbol{u} \boldsymbol{v}^T$ 是 $n \times n$ 矩阵。
步骤 2/6
目标：分析特征值结构
秩为1的矩阵最多有一个非零特征值。因为若 $\lambda \neq 0$ 是特征值，则 $\operatorname{rank}(\lambda I - A) \geq n-1$，所以非零特征值个数不超过1。实际上，$A$ 的迹 $\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n u_i v_i = \boldsymbol{v}^T \boldsymbol{u}$ 是一个特征值（当 $\boldsymbol{v}^T \boldsymbol{u} \neq 0$ 时），其余 $n-1$ 个特征值均为0。
公式：\operatorname{tr}(A) = \boldsymbol{v}^T \boldsymbol{u}
提示：注意 $\boldsymbol{v}^T \boldsymbol{u}$ 是一个标量，等于 $\sum u_i v_i$。
步骤 3/6
目标：写出特征多项式形式
设 $A$ 的特征多项式为 $f(\lambda) = \det(\lambda I - A)$。由于特征值中 $n-1$ 个为0，一个为 $\operatorname{tr}(A)$，因此 $f(\lambda) = \lambda^{n-1} (\lambda - \operatorname{tr}(A))$。
公式：f(\lambda) = \lambda^{n-1} (\lambda - \operatorname{tr}(A))
提示：注意特征多项式首项系数为1，且常数项为 $(-1)^n \det A$，但这里 $\det A = 0$（因为秩为1），所以常数项为0。
步骤 4/6
目标：考虑迹为零的特殊情况
若 $\operatorname{tr}(A) = 0$，则 $\boldsymbol{v}^T \boldsymbol{u} = 0$，此时所有特征值均为0，特征多项式为 $f(\lambda) = \lambda^n$。这可以统一表示为 $\lambda^{n-1}(\lambda - \operatorname{tr}(A))$，因为当 $\operatorname{tr}(A)=0$ 时即为 $\lambda^n$。
提示：注意 $\operatorname{tr}(A)=0$ 时，$A$ 可能不是零矩阵（例如 $\boldsymbol{u}=(1,0)^T, \boldsymbol{v}=(0,1)^T$），但特征值全为0。
步骤 5/6
目标：验证特征多项式形式
考虑 $A$ 的极小多项式。由于 $A^2 = \boldsymbol{u} \boldsymbol{v}^T \boldsymbol{u} \boldsymbol{v}^T = (\boldsymbol{v}^T \boldsymbol{u}) \boldsymbol{u} \boldsymbol{v}^T = \operatorname{tr}(A) A$，所以 $A$ 满足 $A^2 - \operatorname{tr}(A) A = 0$。因此极小多项式为 $\lambda(\lambda - \operatorname{tr}(A))$（当 $\operatorname{tr}(A) \neq 0$）或 $\lambda$（当 $\operatorname{tr}(A)=0$）。特征多项式与极小多项式有相同的根，且特征多项式次数为 $n$，故特征多项式为 $\lambda^{n-1}(\lambda - \operatorname{tr}(A))$。
公式：A^2 = \operatorname{tr}(A) A
提示：注意 $\boldsymbol{v}^T \boldsymbol{u}$ 是标量，可以提到前面。
步骤 6/6
目标：总结答案
综上，$n$ 阶秩1方阵 $A$ 的特征多项式为 $\lambda^{n-1}(\lambda - \operatorname{tr}(A))$。
提示：答案中 $\operatorname{tr}(A)$ 是矩阵的迹，即对角线元素之和。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。