哈尔滨工程大学 2011年高等代数第9题
📝 题目
9．矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 8 \\ 3 & -1 & 6 \\ -2 & 0 & -5\end{array}\right)$ 的约当标准形为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算特征多项式
设矩阵 $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 8 \\ 3 & -1 & 6 \\ -2 & 0 & -5 \end{pmatrix}$。特征多项式为 $\det(\lambda I - A) = \det\begin{pmatrix} \lambda-3 & 0 & -8 \\ -3 & \lambda+1 & -6 \\ 2 & 0 & \lambda+5 \end{pmatrix}$。按第二行展开：
$\det(\lambda I - A) = (\lambda+1) \cdot \det\begin{pmatrix} \lambda-3 & -8 \\ 2 & \lambda+5 \end{pmatrix} = (\lambda+1)[(\lambda-3)(\lambda+5) + 16] = (\lambda+1)(\lambda^2 + 2\lambda -15 + 16) = (\lambda+1)(\lambda^2 + 2\lambda +1) = (\lambda+1)^3$。
公式：$\det(\lambda I - A) = (\lambda+1)^3$
提示：按第二行展开时注意符号：$(-1)^{2+2}=1$，且第二行第二列元素为$\lambda+1$。
步骤 2/5
目标：确定特征值
由特征多项式 $\det(\lambda I - A) = (\lambda+1)^3$ 得特征值为 $\lambda = -1$，代数重数为3。
提示：特征值-1是三重根。
步骤 3/5
目标：计算几何重数
计算 $A + I$：$A + I = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 8 \\ 3 & 0 & 6 \\ -2 & 0 & -4 \end{pmatrix}$。求秩：第一行除以4得 $(1,0,2)$，第二行除以3得 $(1,0,2)$，第三行除以-2得 $(1,0,2)$，三行成比例，秩为1。因此几何重数 $= 3 - 1 = 2$。
公式：几何重数 = 矩阵阶数 - $\text{rank}(A - \lambda I)$
提示：计算秩时注意行简化，避免计算错误。
步骤 4/5
目标：确定约当块结构
代数重数为3，几何重数为2，说明约当块个数为2，且有一个2阶约当块和一个1阶约当块。
提示：约当块个数等于几何重数，每个约当块的阶数之和等于代数重数。
步骤 5/5
目标：写出约当标准形
因此约当标准形为 $\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$。
提示：注意2阶约当块中次对角线为1，其余为0。
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