哈尔滨工程大学 2012年高等代数第0题
📝 题目
三、设 $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实方阵，证明：
（1）若 $B$ 正定，则 $\displaystyle A B$ 的特征值皆大于 0 ；
（2）若 $B$ 正定，且 $\displaystyle A B=B A$ ，则 $\displaystyle A B$ 正定．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用正定矩阵的分解性质
由于 $A$ 是正定矩阵，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $A = P^T P$。
公式：A = P^T P
提示：注意 $P$ 是可逆的，但不一定是正交矩阵。
步骤 2/6
目标：将 $AB$ 相似变换为对称矩阵
考虑矩阵 $P B P^T$。因为 $B$ 正定，对任意非零向量 $x$，有 $x^T (P B P^T) x = (P^T x)^T B (P^T x) > 0$，所以 $P B P^T$ 正定，其特征值全大于0。
公式：x^T (P B P^T) x = (P^T x)^T B (P^T x) > 0
提示：正定矩阵的合同变换保持正定性，但这里 $P B P^T$ 是合同变换，不是相似变换。
步骤 3/6
目标：证明 $AB$ 与 $P B P^T$ 相似
计算 $P^{-T} (AB) P^T = P^{-T} (P^T P B) P^T = P B P^T$。因此 $AB$ 与 $P B P^T$ 相似，从而有相同的特征值。
公式：P^{-T} (AB) P^T = P B P^T
提示：注意 $P^{-T}$ 表示 $(P^T)^{-1}$，即 $P$ 的转置的逆。相似变换矩阵是 $P^T$ 而不是 $P$。
步骤 4/6
目标：得出结论（1）
由于 $P B P^T$ 的特征值全大于0，且 $AB$ 与其相似，故 $AB$ 的特征值全大于0。
提示：相似矩阵有相同的特征值。
步骤 5/6
目标：证明 $AB$ 是对称矩阵
由 $AB = BA$ 且 $A, B$ 对称，得 $(AB)^T = B^T A^T = BA = AB$，所以 $AB$ 是实对称矩阵。
公式：(AB)^T = AB
提示：注意条件 $AB=BA$ 是必要的，否则 $AB$ 不一定对称。
步骤 6/6
目标：结合（1）和对称性证明正定性
由（1）知 $AB$ 的特征值全大于0，且 $AB$ 是实对称矩阵，故 $AB$ 正定。
提示：实对称矩阵正定当且仅当所有特征值大于0。
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