哈尔滨工程大学 2015年高等代数第2题
📝 题目
2．若 $\displaystyle f(x)$ 为数域 $P$ 上的不可约多项式，则 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的关系是 $\displaystyle \_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解不可约多项式的定义
在数域 $P$ 上，多项式 $f(x)$ 称为不可约的，如果它不能分解为两个次数均小于 $\deg f$ 的多项式的乘积。即 $f(x)$ 在 $P$ 上只有平凡因子：常数和 $cf(x)$（$c \neq 0$）。
提示：注意不可约性依赖于数域，例如 $x^2+1$ 在实数域上不可约，但在复数域上可约。
步骤 2/5
目标：引入重因式的概念
若 $f(x)$ 有重因式，即存在不可约多项式 $p(x)$ 使得 $p(x)^k \mid f(x)$ 且 $k \geq 2$，则 $p(x)$ 也是 $f'(x)$ 的因式。因此，$f(x)$ 与 $f'(x)$ 有公因式 $p(x)$。
公式：若 $p(x)^k \mid f(x)$，$k \geq 2$，则 $p(x) \mid f'(x)$。
提示：重因式的判定：$f(x)$ 有重因式当且仅当 $(f(x), f'(x)) \neq 1$。
步骤 3/5
目标：假设 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 有非常数公因式
假设存在非常数多项式 $d(x)$ 使得 $d(x) \mid f(x)$ 且 $d(x) \mid f'(x)$。由于 $f(x)$ 不可约，$d(x)$ 必须是 $f(x)$ 的因式，且次数至少为1。但 $f(x)$ 的非常数因式只能是 $cf(x)$（$c \neq 0$），因此 $d(x) = cf(x)$。
提示：注意 $d(x)$ 的次数不能超过 $\deg f$，且 $f(x)$ 的因式只有常数和自身（相差非零常数倍）。
步骤 4/5
目标：推导矛盾
若 $d(x) = cf(x)$，则 $f(x) \mid f'(x)$。但 $\deg f' < \deg f$，除非 $f'(x)=0$。在数域 $P$ 上，$f'(x)=0$ 意味着 $f(x)$ 是常数多项式，这与 $f(x)$ 不可约（通常次数≥1）矛盾。因此假设不成立。
公式：若 $f(x) \mid f'(x)$ 且 $\deg f' < \deg f$，则 $f'(x)=0$。
提示：注意特征零的数域（如有理数域、实数域、复数域）上，非常数多项式的导数非零。在特征 $p$ 的域上，可能存在非零多项式导数为零，但题目中数域通常指特征零。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 没有非常数的公因式，它们的最大公因式只能是常数，即 $(f(x), f'(x)) = 1$。这意味着 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 互素。
公式：$(f(x), f'(x)) = 1$
提示：互素意味着存在多项式 $u(x), v(x)$ 使得 $u(x)f(x)+v(x)f'(x)=1$。
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