哈尔滨工程大学 2015年高等代数第3题
📝 题目
3．若 $A$ 为奇数阶反对称阵，则 $\displaystyle |A|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出反对称矩阵的定义
设 $A$ 为 $n$ 阶反对称矩阵，其中 $n$ 为奇数。由定义，$A^T = -A$。
公式：$A^T = -A$
提示：注意反对称矩阵的定义是转置等于负的自身。
步骤 2/6
目标：对等式两边取行列式
对 $A^T = -A$ 两边取行列式，得 $|A^T| = |-A|$。
公式：$|A^T| = |-A|$
提示：取行列式时，注意矩阵的转置和数乘对行列式的影响。
步骤 3/6
目标：利用行列式性质化简左边
行列式转置不变，即 $|A^T| = |A|$。
公式：$|A^T| = |A|$
提示：行列式转置后值不变，这是行列式的基本性质。
步骤 4/6
目标：利用行列式性质化简右边
数乘行列式：$|-A| = (-1)^n |A|$，因为每一行提出一个 $-1$，共 $n$ 行。
公式：$|-A| = (-1)^n |A|$
提示：注意 $|-A|$ 是矩阵 $-A$ 的行列式，等于 $(-1)^n |A|$，不要与 $| -A | = -|A|$ 混淆。
步骤 5/6
目标：代入并利用n为奇数
代入得 $|A| = (-1)^n |A|$。由于 $n$ 为奇数，$(-1)^n = -1$，所以 $|A| = -|A|$。
公式：$|A| = -|A|$
提示：奇数阶时 $(-1)^n = -1$，这是关键。
步骤 6/6
目标：解方程得结果
移项得 $2|A| = 0$，所以 $|A| = 0$。
公式：$2|A| = 0 \Rightarrow |A| = 0$
提示：注意 $|A|$ 是数，可以直接解方程。
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