哈尔滨工程大学 2016年高等代数第3题
📝 题目
3．若方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}-x_{2}=a_{1} \\ x_{2}-x_{3}=a_{2} \\ x_{3}-x_{4}=a_{3} \\ x_{4}-x_{5}=a_{4} \\ x_{5}-x_{1}=a_{5}\end{array}\right.$ 有解，则 $\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：列出所有方程
方程组为：
\[
\begin{cases}
x_1 - x_2 = a_1 \\
x_2 - x_3 = a_2 \\
x_3 - x_4 = a_3 \\
x_4 - x_5 = a_4 \\
x_5 - x_1 = a_5
\end{cases}
\]
提示：注意方程的顺序和变量下标
步骤 2/5
目标：将所有方程相加
将五个方程左端相加，右端相加：
\[
(x_1 - x_2) + (x_2 - x_3) + (x_3 - x_4) + (x_4 - x_5) + (x_5 - x_1) = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5
\]
提示：不要漏掉任何一个方程
步骤 3/5
目标：化简左端
左端合并同类项：
\[
x_1 - x_2 + x_2 - x_3 + x_3 - x_4 + x_4 - x_5 + x_5 - x_1 = (x_1 - x_1) + (-x_2 + x_2) + (-x_3 + x_3) + (-x_4 + x_4) + (-x_5 + x_5) = 0
\]
提示：注意正负号，每一项都会抵消
步骤 4/5
目标：得到关于a的方程
因此有：
\[
0 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5
\]
提示：这是方程组有解的必要条件
步骤 5/5
目标：得出结论
所以，若方程组有解，则必须满足：
\[
a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 0
\]
提示：该条件也是充分的，因为系数矩阵的秩为4，增广矩阵的秩也为4当且仅当此条件成立
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