哈尔滨工程大学 2016年高等代数第4题
📝 题目
4．若 3 阶可逆阵 $A$ 交换 1,3 行得 $B$ ，则 $\displaystyle A B^{-1}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意并引入初等矩阵
设 $E_{13}$ 为交换3阶单位矩阵的第1行和第3行得到的初等矩阵，即 $E_{13}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$。由题意，$B$ 是由 $A$ 交换1,3行得到，因此 $B = E_{13} A$。
公式：B = E_{13} A
提示：注意初等矩阵左乘表示行变换，右乘表示列变换。
步骤 2/6
目标：求B的逆矩阵
由于 $A$ 可逆，$B = E_{13} A$ 也可逆。对等式两边取逆，得 $B^{-1} = (E_{13} A)^{-1} = A^{-1} E_{13}^{-1}$。
公式：B^{-1} = A^{-1} E_{13}^{-1}
提示：矩阵乘积的逆等于逆矩阵的反序乘积。
步骤 3/6
目标：计算初等矩阵的逆
初等矩阵 $E_{13}$ 是对合矩阵，即 $E_{13}^2 = I$，因此 $E_{13}^{-1} = E_{13}$。
公式：E_{13}^{-1} = E_{13}
提示：交换两行的初等矩阵的逆就是它本身。
步骤 4/6
目标：代入B的逆表达式
将 $E_{13}^{-1} = E_{13}$ 代入 $B^{-1} = A^{-1} E_{13}^{-1}$，得 $B^{-1} = A^{-1} E_{13}$。
公式：B^{-1} = A^{-1} E_{13}
提示：注意矩阵乘法顺序不可交换。
步骤 5/6
目标：计算AB^{-1}
计算 $A B^{-1} = A (A^{-1} E_{13}) = (A A^{-1}) E_{13} = I E_{13} = E_{13}$。
公式：A B^{-1} = E_{13}
提示：矩阵乘法满足结合律。
步骤 6/6
目标：写出最终结果
因此，$A B^{-1} = E_{13} = \begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$。
提示：结果是一个初等矩阵，注意其形式。
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