哈尔滨工程大学 2016年高等代数第5题

矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$ 是上三角矩阵，其对角线元素即为特征值：$\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 4, \lambda_3 = 6$。

令 $g(x) = (x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4(x-5)^5(x-6)^6$，则 $f(x) = g(x) + x + 1$。

由于 $g(x)$ 含有因子 $(x-1)$，所以 $g(1)=0$；含有因子 $(x-4)^4$，所以 $g(4)=0$；含有因子 $(x-6)^6$，所以 $g(6)=0$。因此 $g(1)=g(4)=g(6)=0$。

矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\chi_A(\lambda) = (\lambda-1)(\lambda-4)(\lambda-6)$。由哈密顿-凯莱定理，$\chi_A(A)=0$，即 $(A-I)(A-4I)(A-6I)=0$。但这里 $g(A)$ 包含更高次幂，例如 $(A-2I)^2$ 等，然而由于 $A$ 的特征值只有1,4,6，这些因子并不直接导致零矩阵。不过，我们可以利用 $g(x)$ 在特征值处为零，结合最小多项式来简化。实际上，因为 $g(x)$ 在 $A$ 的每个特征值处为零，且 $g(x)$ 是多项式，所以 $g(A)$ 是零矩阵吗？不一定，因为 $g(x)$ 可能不被 $A$ 的最小多项式整除。但这里 $A$ 的最小多项式就是其特征多项式（因为特征值互异），所以 $g(x)$ 能被 $\chi_A(x)$ 整除吗？注意 $g(x)$ 含有因子 $(x-1)$，但 $\chi_A(x)$ 也含有 $(x-1)$，但 $g(x)$ 还含有其他因子如 $(x-2)^2$，这些因子在 $\chi_A(x)$ 中没有，所以 $\chi_A(x)$ 不一定整除 $g(x)$。然而，由于 $g(1)=0$，$g(4)=0$，$g(6)=0$，所以 $g(x)$ 能被 $(x-1)(x-4)(x-6)$ 整除吗？不一定，因为 $g(x)$ 可能没有这些因子的乘积作为因子，但 $g(x)$ 确实含有 $(x-1)$，也含有 $(x-4)^4$ 和 $(x-6)^6$，所以 $g(x)$ 确实含有因子 $(x-1)(x-4)(x-6)$。因此 $g(x) = (x-1)(x-4)(x-6) \cdot h(x)$，其中 $h(x)$ 是某个多项式。于是 $g(A) = (A-I)(A-4I)(A-6I) \cdot h(A) = 0 \cdot h(A) = 0$。所以 $g(A)=0$。

由 $f(A) = g(A) + A + I = 0 + A + I = A + I$。

$A + I = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 5 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$。

因此 $f(A) = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 5 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$。