哈尔滨工程大学 2024年高等代数第3题
📝 题目
3．若二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=t\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+2 x_{1} x_{2}-2 x_{2} x_{3}$ 正定，则参数 $t$ 应满足 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出二次型的矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=t(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+2x_1x_2-2x_2x_3$ 的矩阵为 $A=\begin{pmatrix} t & 1 & 0 \\ 1 & t & -1 \\ 0 & -1 & t \end{pmatrix}$。注意：交叉项系数一半放在对称位置。
公式：二次型 $f=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j$ 对应矩阵 $A=(a_{ij})$，其中 $a_{ii}$ 为平方项系数，$a_{ij}=a_{ji}$ 为交叉项系数的一半。
提示：交叉项 $2x_1x_2$ 对应 $a_{12}=1$，$-2x_2x_3$ 对应 $a_{23}=-1$，注意符号。
步骤 2/6
目标：正定性的判别条件
实二次型正定的充要条件是它的矩阵的各阶顺序主子式都大于零。即 $\Delta_1>0$，$\Delta_2>0$，$\Delta_3>0$。
公式：顺序主子式：$\Delta_k = \det\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & \cdots & a_{kk} \end{pmatrix}$。
提示：注意是顺序主子式，不是所有主子式。
步骤 3/6
目标：计算一阶顺序主子式
一阶顺序主子式 $\Delta_1 = t > 0$。
提示：直接取矩阵左上角元素。
步骤 4/6
目标：计算二阶顺序主子式
二阶顺序主子式 $\Delta_2 = \begin{vmatrix} t & 1 \\ 1 & t \end{vmatrix} = t^2 - 1 > 0$，解得 $|t| > 1$。结合 $t>0$，得 $t>1$。
公式：二阶行列式公式：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$。
提示：注意 $t>0$ 来自第一步，所以 $t>1$。
步骤 5/6
目标：计算三阶顺序主子式
三阶顺序主子式 $\Delta_3 = \det A = t\begin{vmatrix} t & -1 \\ -1 & t \end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & t \end{vmatrix} + 0\begin{vmatrix} 1 & t \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = t(t^2-1) - 1(t) = t^3 - 2t = t(t^2-2) > 0$。
公式：行列式按第一行展开：$\det A = a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}$，其中 $C_{ij}$ 是代数余子式。
提示：计算代数余子式时注意符号：$C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}$，$M_{12}$ 是去掉第一行第二列的子式。
步骤 6/6
目标：综合条件得出参数范围
由 $t>1$ 且 $t(t^2-2)>0$，因为 $t>0$，所以 $t^2-2>0$，即 $t>\sqrt{2}$。因此参数 $t$ 应满足 $t > \sqrt{2}$。
提示：注意 $t>1$ 已经包含 $t>0$，但 $t>\sqrt{2}$ 比 $t>1$ 更强，所以最终取 $t>\sqrt{2}$。
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