哈尔滨工程大学 2024年高等代数第4题
📝 题目
4．设 $\displaystyle A, B$ 均为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle \operatorname{rank} A=\operatorname{rank} B=1, W_{1}$ 与 $\displaystyle W_{2}$ 分别为齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 和 $\displaystyle B X=0$ 的解空间，且 $\displaystyle W_{1} \neq W_{2}$ ，则 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定解空间维数
由秩-零化度定理，对于 $m \times n$ 矩阵 $A$，有 $\dim W_1 = n - \operatorname{rank} A$。已知 $\operatorname{rank} A = 1$，故 $\dim W_1 = n-1$。同理，$\dim W_2 = n-1$。
公式：秩-零化度定理：$\dim \ker A = n - \operatorname{rank} A$
提示：注意矩阵是 $m \times n$，零化度是 $n$ 减去秩，不是 $m$。
步骤 2/4
目标：分析 $W_1$ 和 $W_2$ 的关系
已知 $W_1 \neq W_2$，且两者都是 $n-1$ 维子空间（超平面）。两个不同的超平面在 $\mathbb{R}^n$ 中的和是整个空间，即 $W_1 + W_2 = \mathbb{R}^n$，因此 $\dim(W_1+W_2) = n$。
提示：两个不同的 $n-1$ 维子空间的和的维数一定是 $n$，因为它们的并生成整个空间。
步骤 3/4
目标：应用维数公式求交的维数
由维数公式：$\dim(W_1+W_2) = \dim W_1 + \dim W_2 - \dim(W_1 \cap W_2)$。代入已知：$n = (n-1) + (n-1) - \dim(W_1 \cap W_2)$，解得 $\dim(W_1 \cap W_2) = n-2$。
公式：维数公式：$\dim(U+V) = \dim U + \dim V - \dim(U \cap V)$
提示：注意维数公式适用于有限维向量空间的子空间。
步骤 4/4
目标：验证结果合理性
当 $n \geq 2$ 时，$n-2$ 非负；当 $n=1$ 时，$W_1$ 和 $W_2$ 都是零空间，但 $W_1 \neq W_2$ 不可能，故 $n \geq 2$ 隐含成立。因此答案合理。
提示：注意 $n$ 至少为2，否则条件矛盾。
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