山东大学 2026年高等代数第5题
📝 题目
5．设 $V$ 是欧式空间，向量 $\displaystyle a \in V$ ，向量 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{n} \in V$ ，满足：$\displaystyle \left(a, a_{i}\right)>0 ;\left(a_{i}, a_{j}\right) \leq 0(i \neq j)$ ，证明： $\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{n}$ 线性无关。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：反设线性相关
假设存在一组不全为零的实数 $k_1, k_2, \dots, k_n$，使得 $\sum_{i=1}^n k_i a_i = 0$。
提示：注意不全为零的条件，这是反证法的起点。
步骤 2/6
目标：利用内积条件导出系数符号
计算 $a$ 与线性组合的内积：$0 = (a, \sum_{i=1}^n k_i a_i) = \sum_{i=1}^n k_i (a, a_i)$。由于 $(a, a_i) > 0$，若所有 $k_i$ 同号，则内积不为零，矛盾。因此 $k_i$ 中既有正数也有负数。不妨设 $k_1, \dots, k_r > 0$，$k_{r+1}, \dots, k_n < 0$，其中 $1 \le r < n$。
公式：$(a, \sum k_i a_i) = \sum k_i (a, a_i)$
提示：注意内积的线性性；正负系数的存在是关键。
步骤 3/6
目标：构造两个向量并令其相等
令 $u = \sum_{i=1}^r k_i a_i$，$v = -\sum_{j=r+1}^n k_j a_j$，则 $u = v$。
提示：注意 $v$ 的定义中负号使得 $v$ 的系数为正。
步骤 4/6
目标：计算 $u$ 与自身的内积
计算 $(u, u) = (u, v) = \left( \sum_{i=1}^r k_i a_i, -\sum_{j=r+1}^n k_j a_j \right) = -\sum_{i=1}^r \sum_{j=r+1}^n k_i k_j (a_i, a_j)$。
公式：$(u, u) = -\sum_{i=1}^r \sum_{j=r+1}^n k_i k_j (a_i, a_j)$
提示：注意内积的双线性性。
步骤 5/6
目标：分析内积的符号
由于 $k_i > 0$，$k_j < 0$，所以 $k_i k_j < 0$，从而 $-k_i k_j > 0$。又因为 $i \neq j$ 时 $(a_i, a_j) \le 0$，所以 $-k_i k_j (a_i, a_j) \ge 0$。因此 $(u, u) \ge 0$。另一方面，$-k_i k_j (a_i, a_j) \le 0$？注意：$k_i k_j < 0$，$(a_i, a_j) \le 0$，乘积 $k_i k_j (a_i, a_j) \ge 0$，所以 $-k_i k_j (a_i, a_j) \le 0$。因此 $(u, u) \le 0$。结合得 $(u, u) = 0$。
提示：符号分析要仔细：$k_i k_j < 0$ 且 $(a_i, a_j) \le 0$ 时，$k_i k_j (a_i, a_j) \ge 0$，故 $-k_i k_j (a_i, a_j) \le 0$。
步骤 6/6
目标：导出矛盾
由 $(u, u) = 0$ 得 $u = 0$，即 $\sum_{i=1}^r k_i a_i = 0$。但 $k_i > 0$，且 $(a, a_i) > 0$，则 $(a, \sum_{i=1}^r k_i a_i) = \sum_{i=1}^r k_i (a, a_i) > 0$，与 $u=0$ 矛盾。因此假设不成立，故 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 线性无关。
提示：注意 $u=0$ 时内积应为0，但计算得正数，矛盾。
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