📝 山东大学 2026年高等代数真题

1．讨论方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}=-3 \\ x_{1}+\lambda x_{2}+x_{3}=-3 \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}=-3\end{array}\right.$ 是否有解，有解时求解。

2．已知 $n$ 阶矩阵 $A$
（1）证明：若 $\displaystyle r(A)=1$ ，则 $A$ 可以表示成 $\displaystyle \left(\begin{array}{c}a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n}\end{array}\right)\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)$ 的形式。
（2）证明：若 $\displaystyle r(A)=1$ ，则存在常数 $k$ ，使得 $\displaystyle A^{2}=k A$ 。
（3）若 $\displaystyle n=2, A^{m}=O(m>2)$ ，证明：$\displaystyle A^{2}=O$ 。

3．已知对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle A_{11}$ 是方阵，证明以下条件是充要的：
（1）$A$ 正定
（2）$\displaystyle A_{11}, A_{22}-A_{12}^{T} A_{11}^{-1} A_{12}$ 都正定
（3）$\displaystyle A_{22}, A_{11}-A_{12} A_{22}^{-1} A_{21}$ 都正定

4．设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccc}a & -b & & & & \\ b & a & 1 & & & \\ & & a & -b & & \\ & b & a & 1 & \\ & & & & a & -b \\ & & & & b & a\end{array}\right)$ ，求 $A$ 的不变因子，初等因子，若尔当标准型。

5．设 $V$ 是欧式空间，向量 $\displaystyle a \in V$ ，向量 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{n} \in V$ ，满足：$\displaystyle \left(a, a_{i}\right)>0 ;\left(a_{i}, a_{j}\right) \leq 0(i \neq j)$ ，证明： $\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{n}$ 线性无关。

6．设 $\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 中一组基，满足：$\displaystyle \sigma\left(\alpha_{1}\right)=\alpha_{2}, \sigma\left(\alpha_{2}\right)=\alpha_{3}, \cdots, \sigma\left(\alpha_{n-1}\right)= \alpha_{n}, \sigma\left(\alpha_{n}\right)=0$
（1）求 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的表示矩阵
（2）证明：$\displaystyle \sigma^{n}=O, \sigma^{n-1} \neq O$
常微分方程部分