山东大学 2026年高等代数第1题

方程组为 \[\begin{cases}\lambda x_1 + x_2 + x_3 = -3 \\ x_1 + \lambda x_2 + x_3 = -3 \\ x_1 + x_2 + \lambda x_3 = -3\end{cases}\] 系数矩阵 \(A\) 和增广矩阵 \(\bar{A}\) 分别为 \[A = \begin{pmatrix}\lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda\end{pmatrix}, \quad \bar{A} = \begin{pmatrix}\lambda & 1 & 1 & -3 \\ 1 & \lambda & 1 & -3 \\ 1 & 1 & \lambda & -3\end{pmatrix}\]

计算 \(\det(A)\)： \[\det(A) = \begin{vmatrix}\lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda\end{vmatrix}\] 按第一行展开： \[\det(A) = \lambda(\lambda^2 - 1) - 1(\lambda - 1) + 1(1 - \lambda) = \lambda^3 - \lambda - \lambda + 1 + 1 - \lambda = \lambda^3 - 3\lambda + 2\] 因式分解： \[\lambda^3 - 3\lambda + 2 = (\lambda - 1)^2(\lambda + 2)\]

当 \(\det(A) \neq 0\)，即 \(\lambda \neq 1\) 且 \(\lambda \neq -2\) 时，方程组有唯一解。 由于方程对称，可设 \(x_1 = x_2 = x_3 = t\)，代入任一方程得 \((\lambda + 2)t = -3\)，故 \(t = -\frac{3}{\lambda+2}\)。 因此唯一解为 \(x_1 = x_2 = x_3 = -\frac{3}{\lambda+2}\)。

当 \(\lambda = 1\) 时，方程组化为 \[\begin{cases}x_1 + x_2 + x_3 = -3 \\ x_1 + x_2 + x_3 = -3 \\ x_1 + x_2 + x_3 = -3\end{cases}\] 三个方程相同，系数矩阵和增广矩阵的秩均为1，故有无穷多解。 通解为 \(x_1 = -3 - x_2 - x_3\)，其中 \(x_2, x_3\) 为自由变量。 向量形式： \[\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + k_1\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + k_2\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, \quad k_1, k_2 \in \mathbb{R}\]

当 \(\lambda = -2\) 时，方程组为 \[\begin{cases}-2x_1 + x_2 + x_3 = -3 \\ x_1 - 2x_2 + x_3 = -3 \\ x_1 + x_2 - 2x_3 = -3\end{cases}\] 将三个方程相加得 \(0 = -9\)，矛盾，故方程组无解。 也可通过计算增广矩阵的秩判断：此时系数矩阵秩为2，增广矩阵秩为3，无解。

综上所述： - 当 \(\lambda \neq 1\) 且 \(\lambda \neq -2\) 时，方程组有唯一解 \(x_1 = x_2 = x_3 = -\frac{3}{\lambda+2}\)。 - 当 \(\lambda = 1\) 时，方程组有无穷多解，通解为 \(x_1 = -3 - x_2 - x_3\)，\(x_2, x_3\) 自由。 - 当 \(\lambda = -2\) 时，方程组无解。