山东大学 2026年高等代数第2题
📝 题目
2．已知 $n$ 阶矩阵 $A$
（1）证明：若 $\displaystyle r(A)=1$ ，则 $A$ 可以表示成 $\displaystyle \left(\begin{array}{c}a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n}\end{array}\right)\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)$ 的形式。
（2）证明：若 $\displaystyle r(A)=1$ ，则存在常数 $k$ ，使得 $\displaystyle A^{2}=k A$ 。
（3）若 $\displaystyle n=2, A^{m}=O(m>2)$ ，证明：$\displaystyle A^{2}=O$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用秩为1的性质表示矩阵
由于 $r(A)=1$，矩阵 $A$ 的所有行向量线性相关，且非零行向量成比例。设 $A$ 的第一行非零，记为 $\boldsymbol{\beta} = (b_1, b_2, \cdots, b_n)$，则其余各行均为 $\boldsymbol{\beta}$ 的倍数。即存在常数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$（其中 $a_1=1$），使得第 $i$ 行为 $a_i \boldsymbol{\beta}$。因此，
\[ A = \begin{pmatrix} a_1 \boldsymbol{\beta} \\ a_2 \boldsymbol{\beta} \\ \vdots \\ a_n \boldsymbol{\beta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} (b_1, b_2, \cdots, b_n). \]
提示：注意非零行的选取，确保 $a_1=1$ 是可行的，因为第一行非零。
步骤 2/6
目标：利用列向量表示矩阵
将 $A$ 表示为列向量与行向量的乘积：令 $\boldsymbol{\alpha} = (a_1, a_2, \cdots, a_n)^T$，$\boldsymbol{\beta} = (b_1, b_2, \cdots, b_n)^T$，则 $A = \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^T$。
公式：$A = \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^T$
提示：注意行向量与列向量的维度匹配。
步骤 3/6
目标：计算 $A^2$
计算 $A^2 = (\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^T)(\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^T) = \boldsymbol{\alpha} (\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{\alpha}) \boldsymbol{\beta}^T = (\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{\alpha}) \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^T$。由于 $\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{\alpha}$ 是一个标量，记为 $k$，则 $A^2 = k A$。
公式：$A^2 = (\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{\alpha}) A$
提示：注意矩阵乘法的结合律，$\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{\alpha}$ 是内积，结果为标量。
步骤 4/6
目标：确定常数 $k$
常数 $k = \boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{\alpha} = \sum_{i=1}^n a_i b_i$。
公式：$k = \sum_{i=1}^n a_i b_i$
提示：注意 $k$ 是 $\boldsymbol{\alpha}$ 和 $\boldsymbol{\beta}$ 的内积。
步骤 5/6
目标：利用 $A^2 = kA$ 推导 $A^m$
由 $A^2 = kA$，递推可得 $A^3 = A^2 A = kA^2 = k^2 A$，一般地，对任意正整数 $t \geq 2$，有 $A^t = k^{t-1} A$。特别地，$A^m = k^{m-1} A$。
公式：$A^t = k^{t-1} A$
提示：注意递推关系，从 $t=2$ 开始归纳。
步骤 6/6
目标：利用 $A^m = O$ 证明 $A^2 = O$
已知 $A^m = O$，即 $k^{m-1} A = O$。若 $k \neq 0$，则 $A = O$，从而 $A^2 = O$；若 $k = 0$，则 $A^2 = 0 \cdot A = O$。因此总有 $A^2 = O$。
提示：注意 $m>2$ 的条件，确保 $m-1 \geq 2$，但这里不需要。
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