山东大学 2026年高等代数第3题
📝 题目
3．已知对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle A_{11}$ 是方阵，证明以下条件是充要的：
（1）$A$ 正定
（2）$\displaystyle A_{11}, A_{22}-A_{12}^{T} A_{11}^{-1} A_{12}$ 都正定
（3）$\displaystyle A_{22}, A_{11}-A_{12} A_{22}^{-1} A_{21}$ 都正定
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设矩阵并明确对称性
设对称矩阵 $A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}$，其中 $A_{11}$ 是方阵，且由对称性知 $A_{21} = A_{12}^T$。
提示：注意 $A_{21} = A_{12}^T$ 是矩阵对称性的直接结果。
步骤 2/5
目标：证明 (1) ⇒ (2)：由A正定推出A11和Schur补正定
若 $A$ 正定，则 $A$ 的所有顺序主子式大于0，特别地 $A_{11}$ 正定，故 $A_{11}^{-1}$ 存在。考虑分块矩阵的合同变换：
$$
\begin{pmatrix} I & 0 \\ -A_{12}^T A_{11}^{-1} & I \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{12}^T & A_{22} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} I & -A_{11}^{-1} A_{12} \\ 0 & I \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} A_{11} & 0 \\ 0 & A_{22} - A_{12}^T A_{11}^{-1} A_{12} \end{pmatrix}.
$$
由于 $A$ 正定，合同变换不改变正定性，故右端矩阵正定，从而 $A_{11}$ 和 $A_{22} - A_{12}^T A_{11}^{-1} A_{12}$ 都正定。
公式：合同变换公式：$P^T A P = \begin{pmatrix} A_{11} & 0 \\ 0 & S \end{pmatrix}$，其中 $S = A_{22} - A_{12}^T A_{11}^{-1} A_{12}$
提示：合同变换矩阵必须是可逆的；注意 $A_{11}^{-1}$ 存在是因为 $A_{11}$ 正定。
步骤 3/5
目标：证明 (2) ⇒ (1)：由A11和Schur补正定推出A正定
若 $A_{11}$ 和 $S = A_{22} - A_{12}^T A_{11}^{-1} A_{12}$ 都正定，则 $A_{11}^{-1}$ 存在且 $S$ 正定。由上述合同变换，右端矩阵正定，而合同变换可逆，故 $A$ 正定。因此 (1) 与 (2) 等价。
提示：合同变换是可逆的，因此正定性在合同变换下保持不变。
步骤 4/5
目标：证明 (1) ⇔ (3)：类似地考虑另一合同变换
考虑另一合同变换：
$$
\begin{pmatrix} I & -A_{12} A_{22}^{-1} \\ 0 & I \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{12}^T & A_{22} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} I & 0 \\ -A_{22}^{-1} A_{12}^T & I \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} A_{11} - A_{12} A_{22}^{-1} A_{12}^T & 0 \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix}.
$$
同理可得 (1) 与 (3) 等价。
公式：合同变换公式：$Q^T A Q = \begin{pmatrix} A_{11} - A_{12} A_{22}^{-1} A_{12}^T & 0 \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix}$
提示：这里要求 $A_{22}$ 可逆，但由 (3) 条件知 $A_{22}$ 正定，故可逆。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，(1)、(2)、(3) 互为充要条件。
提示：注意两个合同变换分别对应不同的分块消去，但本质相同。
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