山东大学 2026年高等代数第6题
📝 题目
6．设 $\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 中一组基，满足：$\displaystyle \sigma\left(\alpha_{1}\right)=\alpha_{2}, \sigma\left(\alpha_{2}\right)=\alpha_{3}, \cdots, \sigma\left(\alpha_{n-1}\right)= \alpha_{n}, \sigma\left(\alpha_{n}\right)=0$
（1）求 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的表示矩阵
（2）证明：$\displaystyle \sigma^{n}=O, \sigma^{n-1} \neq O$
常微分方程部分
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出线性变换在基下的作用
已知 $\sigma(\alpha_1)=\alpha_2$, $\sigma(\alpha_2)=\alpha_3$, $\ldots$, $\sigma(\alpha_{n-1})=\alpha_n$, $\sigma(\alpha_n)=0$。
提示：注意 $\sigma(\alpha_n)=0$，不要遗漏。
步骤 2/6
目标：构造表示矩阵
线性变换 $\sigma$ 在基 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 下的表示矩阵 $A$ 的第 $j$ 列是 $\sigma(\alpha_j)$ 在该基下的坐标。由于 $\sigma(\alpha_1)=\alpha_2$，其坐标为 $(0,1,0,\ldots,0)^T$，故第一列为 $(0,1,0,\ldots,0)^T$；类似地，$\sigma(\alpha_2)=\alpha_3$ 对应第二列为 $(0,0,1,\ldots,0)^T$；$\ldots$；$\sigma(\alpha_{n-1})=\alpha_n$ 对应第 $n-1$ 列为 $(0,\ldots,0,1)^T$；$\sigma(\alpha_n)=0$ 对应第 $n$ 列为 $(0,\ldots,0)^T$。因此表示矩阵为：
$$A = \begin{pmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & 0
\end{pmatrix}_{n\times n}.$$
公式：表示矩阵 $A$ 满足 $\sigma(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = (\alpha_1,\ldots,\alpha_n)A$。
提示：注意矩阵的列顺序与基的对应关系，不要混淆行列。
步骤 3/6
目标：计算 $\sigma^k$ 在基上的作用
由于 $\sigma$ 的表示矩阵为 $A$，$\sigma^k$ 的表示矩阵为 $A^k$。通过递推可得：
- $\sigma(\alpha_1)=\alpha_2$，$\sigma^2(\alpha_1)=\sigma(\alpha_2)=\alpha_3$，$\ldots$，$\sigma^{n-1}(\alpha_1)=\alpha_n$，$\sigma^n(\alpha_1)=0$。
- 对于 $\alpha_i$，当 $i+k \leq n$ 时，$\sigma^k(\alpha_i)=\alpha_{i+k}$；否则 $\sigma^k(\alpha_i)=0$。
公式：$\sigma^k(\alpha_i) = \begin{cases} \alpha_{i+k}, & i+k \leq n \\ 0, & i+k > n \end{cases}$
提示：注意 $\sigma^k$ 作用在基向量上时，下标不能超过 $n$。
步骤 4/6
目标：证明 $\sigma^{n-1} \neq O$
取 $\alpha_1$，则 $\sigma^{n-1}(\alpha_1)=\alpha_n \neq 0$，因此 $\sigma^{n-1}$ 不是零变换，即 $\sigma^{n-1} \neq O$。
提示：只需找到一个向量使得变换后非零即可。
步骤 5/6
目标：证明 $\sigma^n = O$
对任意基向量 $\alpha_i$，当 $i \leq n$ 时，$\sigma^n(\alpha_i)=0$（因为 $i+n > n$），所以 $\sigma^n$ 在基上的作用为零，从而 $\sigma^n$ 是零变换，即 $\sigma^n = O$。
提示：注意 $\sigma^n$ 作用在任意基向量上结果都是零，因此是零变换。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，$\sigma$ 的表示矩阵为 $A$，且 $\sigma^n=O$，$\sigma^{n-1}\neq O$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。