广西民族大学 2010年高等代数第8题
📝 题目
8．（15 分）设 A 是一个 n 阶实对称矩阵，且 $\displaystyle |\mathrm{A}|<0$ 。证明存在实 n 维向量 X 使得 $\displaystyle \mathrm{X}^{\prime} \mathrm{AX}<0$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用实对称矩阵的性质进行正交对角化
由于 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，根据实对称矩阵的正交对角化定理，存在正交矩阵 $Q$（即 $Q^T Q = I$）使得 $Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值，且均为实数。
公式：Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)
提示：注意正交矩阵满足 $Q^T = Q^{-1}$，且特征值全为实数。
步骤 2/5
目标：由行列式小于0推出存在负特征值
已知 $|A| < 0$，而 $|A| = |Q^T A Q| = |\Lambda| = \prod_{i=1}^n \lambda_i$，因此 $\prod_{i=1}^n \lambda_i < 0$。由于特征值都是实数，乘积为负说明至少有一个特征值为负数。不妨设 $\lambda_1 < 0$。
公式：|A| = \prod_{i=1}^n \lambda_i < 0
提示：注意行列式在正交变换下不变，即 $|Q^T A Q| = |A|$。
步骤 3/5
目标：构造一个向量使得二次型为负
取向量 $Y = (1, 0, \dots, 0)^T \in \mathbb{R}^n$，则 $Y^T \Lambda Y = \lambda_1 \cdot 1^2 + \lambda_2 \cdot 0^2 + \dots + \lambda_n \cdot 0^2 = \lambda_1 < 0$。
公式：Y^T \Lambda Y = \lambda_1
提示：注意 $Y$ 是标准基向量，其二次型直接给出对应特征值。
步骤 4/5
目标：通过正交变换得到原矩阵下的向量
令 $X = QY$，由于 $Q$ 是正交矩阵，$X$ 是实 $n$ 维向量。计算 $X^T A X$：$X^T A X = (QY)^T A (QY) = Y^T (Q^T A Q) Y = Y^T \Lambda Y = \lambda_1 < 0$。
公式：X^T A X = Y^T \Lambda Y
提示：注意 $X$ 是非零向量，因为 $Q$ 可逆且 $Y$ 非零。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，存在实 $n$ 维向量 $X$ 使得 $X^T A X < 0$。命题得证。
提示：结论明确，无需额外提示。
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