广西民族大学 2010年高等代数第7题
📝 题目
7．（15 分）设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 $n$ 级方阵，若对任意的 $n$ 维向量 $x$ ，有 $\displaystyle \mathbf{A} x=\mathbf{0}$ ，则 $\displaystyle A=0$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意与设定
已知 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 级方阵，且对任意 $n$ 维向量 $x$，有 $\mathbf{A}x = \mathbf{0}$。要证明 $\mathbf{A} = \mathbf{0}$，即矩阵所有元素为零。
提示：注意条件是对任意向量成立，因此可以选取特殊向量来推导矩阵的性质。
步骤 2/6
目标：选取特殊向量
取 $x$ 为单位向量 $e_i$，其中 $e_i$ 是第 $i$ 个分量为1，其余分量为0的向量。例如 $e_1 = (1,0,\dots,0)^T$。
提示：单位向量是常用的特殊向量，可以提取矩阵的列。
步骤 3/6
目标：计算矩阵与单位向量的乘积
计算 $\mathbf{A} e_i$。由于 $e_i$ 只有第 $i$ 个分量为1，$\mathbf{A} e_i$ 的结果恰好是 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 列向量。即 $\mathbf{A} e_i = \begin{pmatrix} a_{1i} \\ a_{2i} \\ \vdots \\ a_{ni} \end{pmatrix}$。
公式：$\mathbf{A} e_i = \text{第 } i \text{ 列}$
提示：矩阵乘以标准基向量得到对应的列。
步骤 4/6
目标：应用已知条件
由条件，对任意向量 $x$ 有 $\mathbf{A}x = \mathbf{0}$，特别地，取 $x = e_i$ 时，有 $\mathbf{A} e_i = \mathbf{0}$。因此，$\mathbf{A}$ 的第 $i$ 列全为零。
公式：$\mathbf{A} e_i = \mathbf{0}$
提示：注意零向量是指所有分量均为0。
步骤 5/6
目标：推广到所有列
令 $i$ 从1取到 $n$，则对每个 $i$，$\mathbf{A}$ 的第 $i$ 列均为零向量。因此，$\mathbf{A}$ 的所有列都是零向量。
提示：需要遍历所有列，确保没有遗漏。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于矩阵的所有列都是零向量，所以矩阵 $\mathbf{A}$ 是零矩阵，即 $\mathbf{A} = \mathbf{0}$。
公式：$\mathbf{A} = \mathbf{0}$
提示：零矩阵的定义是所有元素为0。
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