广西民族大学 2010年高等代数第6题
📝 题目
6．（15 分）设 $\displaystyle X=\left(\begin{array}{cc}0 & A \\ C & 0\end{array}\right)$ ，已知 $\displaystyle A, C$ 可逆，求 $\displaystyle X^{-1}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设逆矩阵分块形式
设 $X^{-1} = \begin{pmatrix} P & Q \\ R & S \end{pmatrix}$，其中分块与 $X$ 一致，即 $P$ 与 $0$ 同阶，$Q$ 与 $A$ 同阶，$R$ 与 $C$ 同阶，$S$ 与 $0$ 同阶。
提示：注意分块矩阵的乘法要求分块方式匹配，$P$ 和 $S$ 是方阵，$Q$ 和 $R$ 是长方阵。
步骤 2/6
目标：利用逆矩阵定义建立方程
由 $X X^{-1} = I$ 得：
$$\begin{pmatrix} 0 & A \\ C & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} P & Q \\ R & S \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & I \end{pmatrix}.$$
计算左边矩阵乘法：
$$\begin{pmatrix} 0 \cdot P + A \cdot R & 0 \cdot Q + A \cdot S \\ C \cdot P + 0 \cdot R & C \cdot Q + 0 \cdot S \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A R & A S \\ C P & C Q \end{pmatrix}.$$
公式：分块矩阵乘法规则
提示：注意零矩阵块与任何矩阵相乘得零矩阵。
步骤 3/6
目标：得到四个矩阵方程
比较左右两边对应分块，得到四个方程：
$$A R = I, \quad A S = 0, \quad C P = 0, \quad C Q = I.$$
提示：注意 $I$ 和 $0$ 的阶数要与对应分块匹配。
步骤 4/6
目标：利用 $A$ 可逆求解 $R$ 和 $S$
由于 $A$ 可逆，从 $A R = I$ 左乘 $A^{-1}$ 得 $R = A^{-1}$。
从 $A S = 0$ 左乘 $A^{-1}$ 得 $S = 0$。
公式：$A^{-1}A = I$
提示：注意 $A$ 可逆时，$A S = 0$ 可推出 $S = 0$，因为 $A$ 是满秩矩阵。
步骤 5/6
目标：利用 $C$ 可逆求解 $P$ 和 $Q$
由于 $C$ 可逆，从 $C P = 0$ 左乘 $C^{-1}$ 得 $P = 0$。
从 $C Q = I$ 左乘 $C^{-1}$ 得 $Q = C^{-1}$。
公式：$C^{-1}C = I$
提示：注意 $C$ 可逆时，$C P = 0$ 可推出 $P = 0$。
步骤 6/6
目标：写出逆矩阵表达式
将求得的 $P, Q, R, S$ 代入 $X^{-1}$ 的分块形式：
$$X^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & C^{-1} \\ A^{-1} & 0 \end{pmatrix}.$$
提示：注意 $C^{-1}$ 和 $A^{-1}$ 的位置：$C^{-1}$ 在右上角，$A^{-1}$ 在左下角。
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