广西民族大学 2010年高等代数第5题
📝 题目
5．（15 分）证明：如果方程组
$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=b_{n}
\end{array}\right.
$$
对任何 $\displaystyle b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$ 都有解，则 $\displaystyle \left|\left(a_{i j}\right)_{n n}\right| \neq 0$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将方程组表示为矩阵形式
设系数矩阵 $A = (a_{ij})_{n \times n}$，未知向量 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T$，常数向量 $\mathbf{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n)^T$。则原方程组可写为 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$。
公式：$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$
提示：注意向量都是列向量，转置符号不要遗漏。
步骤 2/5
目标：将条件转化为线性映射的满射性
题目条件：对任意 $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^n$，方程组都有解。这意味着线性映射 $\mathbf{x} \mapsto A\mathbf{x}$ 是满射，即像空间 $\operatorname{Im} A = \mathbb{R}^n$。
公式：$\operatorname{Im} A = \mathbb{R}^n$
提示：满射的定义：值域等于整个目标空间。
步骤 3/5
目标：应用秩-零化度定理
秩-零化度定理：对于 $n \times n$ 矩阵 $A$，有 $\dim \operatorname{Im} A + \dim \ker A = n$。因为 $\operatorname{Im} A = \mathbb{R}^n$，所以 $\dim \operatorname{Im} A = n$，代入得 $n + \dim \ker A = n$，故 $\dim \ker A = 0$。
公式：$\dim \operatorname{Im} A + \dim \ker A = n$
提示：注意秩-零化度定理适用于有限维线性空间。
步骤 4/5
目标：推出矩阵可逆
$\dim \ker A = 0$ 意味着 $\ker A = \{\mathbf{0}\}$，即 $A$ 是单射。对于方阵，单射等价于满射，也等价于可逆。因此 $A$ 可逆。
公式：$\ker A = \{\mathbf{0}\} \iff A \text{ 可逆}$
提示：方阵可逆的充要条件：行列式非零、满秩、单射、满射等。
步骤 5/5
目标：得出行列式非零的结论
由于 $A$ 可逆，其行列式 $\det A \neq 0$，即 $|(a_{ij})_{nn}| \neq 0$。证毕。
公式：$\det A \neq 0$
提示：行列式非零是方阵可逆的等价条件之一。
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