广西民族大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
一、（15 分）
判断多项式 $\displaystyle x^{4}-8 x^{3}+12 x^{2}+2$ 在有理数域上是否可约．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定判别方法
对于有理数域上的多项式，判断是否可约常用Eisenstein判别法。该判别法要求存在素数$p$，使得：首项系数不被$p$整除；其余系数均被$p$整除；常数项被$p$整除但不被$p^2$整除。
公式：Eisenstein判别法
提示：注意判别法条件：常数项必须恰好被$p$整除一次（即$p \mid a_0$但$p^2 \nmid a_0$）。
步骤 2/3
目标：检查原多项式是否满足Eisenstein判别法
考虑多项式$f(x)=x^{4}-8x^{3}+12x^{2}+2$。尝试素数$p=2$：首项系数$1$不被$2$整除；其他系数$-8,12,2$均被$2$整除；常数项$2$被$2$整除，且$2^2=4$不整除$2$。因此满足Eisenstein判别法条件。
提示：检查常数项时，需确认$p^2$不整除常数项。这里$2^2=4$不整除$2$，条件成立。
步骤 3/3
目标：应用Eisenstein判别法得出结论
由Eisenstein判别法，存在素数$p=2$满足条件，因此多项式$f(x)=x^{4}-8x^{3}+12x^{2}+2$在有理数域上不可约。
提示：判别法直接给出不可约结论，无需进一步分解。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。