武汉理工大学 2026年高等代数第8题
📝 题目
8．设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，满足 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ．证明：
（1）$\displaystyle V=\operatorname{Im} \sigma \oplus \operatorname{Ker} \sigma$ ．
（2） $\displaystyle \operatorname{Im} \sigma, \operatorname{Ker} \sigma$ 均为 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间当且仅当 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明V = Imσ + Kerσ
对任意 $\alpha \in V$，将 $\alpha$ 分解为 $\alpha = \sigma(\alpha) + (\alpha - \sigma(\alpha))$。显然 $\sigma(\alpha) \in \operatorname{Im}\sigma$。计算 $\sigma(\alpha - \sigma(\alpha)) = \sigma(\alpha) - \sigma^2(\alpha) = \sigma(\alpha) - \sigma(\alpha) = 0$，故 $\alpha - \sigma(\alpha) \in \operatorname{Ker}\sigma$。因此 $V = \operatorname{Im}\sigma + \operatorname{Ker}\sigma$。
公式：$\sigma^2 = \sigma$
提示：注意分解式的构造：$\alpha = \sigma(\alpha) + (\alpha - \sigma(\alpha))$，这是投影变换的标准分解。
步骤 2/6
目标：证明Imσ ∩ Kerσ = {0}
设 $\beta \in \operatorname{Im}\sigma \cap \operatorname{Ker}\sigma$，则存在 $\alpha \in V$ 使得 $\beta = \sigma(\alpha)$，且 $\sigma(\beta)=0$。于是 $0 = \sigma(\beta) = \sigma^2(\alpha) = \sigma(\alpha) = \beta$，故交为 $\{0\}$。
公式：$\sigma^2 = \sigma$
提示：利用幂等性：$\sigma(\beta)=0$ 且 $\beta = \sigma(\alpha)$ 推出 $\beta=0$。
步骤 3/6
目标：结论：V = Imσ ⊕ Kerσ
由前两步，$V = \operatorname{Im}\sigma + \operatorname{Ker}\sigma$ 且 $\operatorname{Im}\sigma \cap \operatorname{Ker}\sigma = \{0\}$，根据直和的定义，$V = \operatorname{Im}\sigma \oplus \operatorname{Ker}\sigma$。
提示：直和需要和与交均为零两个条件。
步骤 4/6
目标：必要性：若Imσ和Kerσ是τ的不变子空间，则στ = τσ
对任意 $\alpha \in V$，由(1)知 $\alpha = \sigma(\alpha) + (\alpha - \sigma(\alpha))$，其中 $\sigma(\alpha) \in \operatorname{Im}\sigma$，$\alpha - \sigma(\alpha) \in \operatorname{Ker}\sigma$。因为 $\operatorname{Im}\sigma$ 是 $\tau$ 的不变子空间，所以 $\tau(\sigma(\alpha)) \in \operatorname{Im}\sigma$，从而 $\sigma(\tau(\sigma(\alpha))) = \tau(\sigma(\alpha))$。又因为 $\operatorname{Ker}\sigma$ 是 $\tau$ 的不变子空间，所以 $\tau(\alpha - \sigma(\alpha)) \in \operatorname{Ker}\sigma$，从而 $\sigma(\tau(\alpha - \sigma(\alpha))) = 0$。于是
\[
\sigma\tau(\alpha) = \sigma\tau(\sigma(\alpha) + (\alpha - \sigma(\alpha))) = \sigma\tau(\sigma(\alpha)) + \sigma\tau(\alpha - \sigma(\alpha)) = \tau(\sigma(\alpha)) + 0 = \tau\sigma(\alpha).
\]
因此 $\sigma\tau = \tau\sigma$。
公式：$\sigma\tau = \tau\sigma$
提示：注意利用不变子空间的性质：若W是τ的不变子空间，则对任意w∈W，τ(w)∈W。
步骤 5/6
目标：充分性：若στ = τσ，则Imσ是τ的不变子空间
对任意 $\alpha \in \operatorname{Im}\sigma$，存在 $\beta \in V$ 使得 $\alpha = \sigma(\beta)$。于是 $\tau(\alpha) = \tau(\sigma(\beta)) = (\tau\sigma)(\beta) = (\sigma\tau)(\beta) = \sigma(\tau(\beta)) \in \operatorname{Im}\sigma$。故 $\operatorname{Im}\sigma$ 是 $\tau$ 的不变子空间。
公式：$\sigma\tau = \tau\sigma$
提示：关键步骤：$\tau(\sigma(\beta)) = \sigma(\tau(\beta))$ 由交换性保证。
步骤 6/6
目标：充分性：若στ = τσ，则Kerσ是τ的不变子空间
对任意 $\alpha \in \operatorname{Ker}\sigma$，有 $\sigma(\alpha)=0$。于是 $\sigma(\tau(\alpha)) = (\sigma\tau)(\alpha) = (\tau\sigma)(\alpha) = \tau(\sigma(\alpha)) = \tau(0) = 0$，故 $\tau(\alpha) \in \operatorname{Ker}\sigma$。所以 $\operatorname{Ker}\sigma$ 也是 $\tau$ 的不变子空间。
公式：$\sigma\tau = \tau\sigma$
提示：注意 $\tau(0)=0$ 是线性变换的性质。
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