武汉理工大学 2026年高等代数第9题
📝 题目
9．设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶实对称正定矩阵，证明：$\displaystyle |A+B|>|A|+|B|$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：同时对角化A和B
由于$A$正定，存在可逆矩阵$P$使得$P^TAP=I$。令$C=P^TBP$，则$C$正定，故存在正交矩阵$Q$使得$Q^TCQ=\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$，其中$\lambda_i>0$。令$R=PQ$，则$R$可逆，且$R^TAR=I$，$R^TBR=\Lambda$。
公式：R^TAR=I, R^TBR=\Lambda
提示：注意$P$和$Q$的选取顺序，先合同对角化$A$，再正交对角化$P^TBP$。
步骤 2/5
目标：计算行列式表达式
由$R^T(A+B)R=I+\Lambda=\operatorname{diag}(1+\lambda_1,\dots,1+\lambda_n)$，取行列式得$|R^T(A+B)R|=\prod_{i=1}^n(1+\lambda_i)$，$|R^TAR|=1$，$|R^TBR|=\prod_{i=1}^n\lambda_i$。又$|R^TXR|=|R|^2|X|$，故$|A+B|=\frac{\prod(1+\lambda_i)}{|R|^2}$，$|A|=\frac{1}{|R|^2}$，$|B|=\frac{\prod\lambda_i}{|R|^2}$。
公式：|R^TXR| = |R|^2|X|
提示：注意行列式的乘法性质，$|R^TXR|=|R^T||X||R|=|R|^2|X|$。
步骤 3/5
目标：转化为不等式
要证$|A+B|>|A|+|B|$，即证$\frac{\prod(1+\lambda_i)}{|R|^2}>\frac{1}{|R|^2}+\frac{\prod\lambda_i}{|R|^2}$，两边乘以$|R|^2>0$得$\prod_{i=1}^n(1+\lambda_i)>1+\prod_{i=1}^n\lambda_i$。
提示：注意$|R|^2>0$，不等式方向不变。
步骤 4/5
目标：展开左边乘积
展开$\prod_{i=1}^n(1+\lambda_i)=1+\sum\lambda_i+\sum_{i0$，左边除$1$和$\prod\lambda_i$外还有正项（如$\sum\lambda_i>0$当$n\ge2$），故左边大于右边。
公式：\prod(1+\lambda_i)=1+\sum\lambda_i+\sum_{i
提示：当$n=1$时，左边$=1+\lambda_1$，右边$=1+\lambda_1$，等式成立，故原不等式要求$n\ge2$。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此$\prod(1+\lambda_i)>1+\prod\lambda_i$，从而$|A+B|>|A|+|B|$。注意当$n=1$时不等式不成立，但题目通常考虑$n\ge2$。
提示：严格大于成立的条件是$n\ge2$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。